四乘数加速模型.ppt

四，乘数加速模型 主要内容 引言 国民收入的凯恩斯静态模型 塞缪尔森模型 数学准备—二阶差分方程 模型的求解与应用 引言 国民收入的凯恩斯静态模型 国民收入的凯恩斯静态模型 国民收入的凯恩斯静态模型 塞缪尔森模型 塞缪尔森模型 线性二阶常系数差分方程 线性二阶常系数差分方程 线性二阶常系数差分方程 线性二阶常系数差分方程 线性二阶常系数差分方程 线性二阶常系数差分方程 线性二阶常系数差分方程 线性二阶常系数差分方程（例） 线性二阶常系数差分方程（例） 塞缪尔森模型的解及其经济应用 塞缪尔森模型的解及其经济应用 塞缪尔森模型的解及其经济应用 塞缪尔森模型的解及其经济应用 塞缪尔森模型的解及其经济应用 塞缪尔森模型的解及其经济应用 模型的改进 扩大消费会促进投资，从而进一步促进国民收入的提高。 如何定量地刻画这一过程是宏观经济学中的一个重要问题。 诺贝尔经济学奖1970年获奖者塞谬尔森（P.A Samuelson） 建立了一个十分简单的乘数——加速模型，并可以化为一个 二阶线性差分方程。通过求解这一差分方程可以解释经济增 长中的一些重要现象。 塞谬尔森是当代对数理经济学最有贡献的经济学家，“新凯 恩斯主义经济学”的领袖。他坚持认为数学对于理解整个经 济学是本质的。他建立了众多的经济学的数学模型，大大提 高了经济科学的分析水平和方法论水平。本例中介绍的乘数 加速模型就是其中的一个典范。 令Y表示国民收入，C表示总消费，I表示投资，那么应有： 其中 为最低消费，它是由储蓄等支持的。c 称为“边际消费”，反映了消费随收入增加而增加的倾向。另外总支出 分为消费和投资两部分之和，即： 由总收入等于总支出 即解得： 由于 c 越接近1，国民收入越大。这解释了扩大消费可以促进 国民收入的增加，这种效应称为乘数效应。 设 G为政府的支出（如投资基本建设等）则： 此时可解得： 其中 为国民收入增加 显然，政府的支出G 拉动了国民收入增加 超过了G。 称为乘数，乘数越大，政府的干预能力越大。 塞缪尔森将凯恩斯模型推广到动态的情形（t年） 可以建立如下学模型： --国民收入，消费 --投资 前两个方程是凯恩斯静态方程的推广 --自发性投资 --诱发性投资 由上述三个方程的第一、第二式即得： 由二、三式可得： 代入上一式略加整理 这是一个线性二阶差分方程模型。 考察如下线性二阶常系数差分方程 相应的齐次差分方程 性质1 若 是原方程的一个解， 是相应齐次方程的一个解，则 也是原方程的解。 性质2 若 是齐次方程的两个解，则 也是齐次方程的解。 线性二阶常系数差分方程的求解 齐次方程 求它的形如 的解，将其代入方程得 称为差分方程的特征方程。 情形1： ，方程有两个实根 从而对任意常数 ， 是齐次方程的解，称为通解。 情形2： 方程只有一个实根 因此 是齐次差分方程的解。不难验证 也是齐次差分方程的解 ，从而 是齐次方程的通解。 情形3： ，特征方程有一对共轭复根 可将其改写为： 其中 取 为任意共轭复数，则 为两个任意实数，从而： 为齐次方程的通解。 现再求非齐次差分方程 的一个特解。若 ，那么： 就是原方程的一个特解。 原方程的通解，即为齐次方程的通解，和该特解之和。 菲波纳契数与方程 将解代入 对塞缪尔森模型 先来求其次方程的通解，它的特征方程为： 其判别式为： (a)当 时， ，特征方程有两个实根： 方程通解为 ，又因为非齐次方程的特解为 ，塞缪尔森模型的通解为： 对应的齐次 其中 是任意常数。注意到由韦达定理， ，因此有 ，又因为 ，有： 所以只可能有以下两种情况： （即 ），当 ，即国民收入是无限增长的； 即 当 称 是有阻尼的振荡并收敛于 。 (b)当 时， ，此时特征方程有重根： 模型的通解为： 其中 是任意常数。 （即 ），当 （即 ），当 即 是振荡型发散的。 时， ，此时特征方程有一对共轭复根 其中： (c)当 令 * *