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第八章习题与解答
第七章 非线性控制系统分析
习题与解答
7-1 设一阶非线性系统的微分方程为
试确定系统有几个平衡状态,分析平衡状态的稳定性,并画出系统的相轨迹。
解 令 得
系统平衡状态
其中: :稳定的平衡状态;
:不稳定平衡状态。
计算列表,画出相轨迹如图解7-1所示。
-2 -1 0 1 2 -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 11 2 0 1 0 2 11
可见:当时,系统最终收敛到稳定的平衡状态;当时,系统发散;时,; 时,。
注:系统为一阶,故其相轨迹只有一条,不可能在整个平面上任意分布。
7-2 试确定下列方程的奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1)
(2)
解 (1) 系统方程为
令,得平衡点:。
系统特征方程及特征根:
计算列表
-∞ -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 ∞ -1 -2/3 0 2 -∞ -4 -2 -4/3 -1 -1 -4/3 -2 -4 ∞ 2 0 -2/3 -1
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2()所示。
图解7-2()系统相平面图
(2) ①
②
由式①: ③
式③代入②:
即 ④
令
得平衡点:
由式④得特征方程及特征根为
(鞍点)
画相轨迹,由④式
计算列表
2 2.5 3 ∞ 1 1.5 2 =1/(-2) ∞ 2 1 0 -1 -2 ∞ 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2()所示。
7-3 已知系统运动方程为 ,试确定奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相平面图。
解 求平衡点,令 得
平衡点 )。
将原方程在平衡点附近展开为台劳级数,取线性项。
设
特征方程及特征根:
k为偶数时 (中心点)
k为奇数时 (鞍点)
用等倾斜线法作相平面
-2 -1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 2 -1/ 1/2 1 2 4 ∞ -4 -2 -1 -1/2 作出系统相平面图如图解7-3所示。
7-4 若非线性系统的微分方程为
(1)
(2)
试求系统的奇点,并概略绘制奇点附近的相轨迹图。
解(1) 由原方程得
令
得
解出奇点
在奇点处线性化处理。
在处:
即
特征方程及特征根
(不稳定的焦点)
在处
即
特征根 (鞍点)
概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4(1)所示:
(2) 由原方程
令 得奇点 ,在奇点处线性化
得
即
特征根 。奇点(中心点)处的相轨迹如图解7-4(2)所示。
7-5 非线性系统的结构图如图7-36所示。
系统开始是静止的,输入信号,试写出开关线方程,确定奇点的位置和类型,画出该系统的相平面图,并分析系统的运动特点。
解 由结构图,线性部分传递函数为
得 ①
由非线性环节有
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