同济线性代数第五版第一章第五节共七节.ppt

§5 行列式的性质 一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结 * * * * 行列式 称为行列式 的转置行列式. 若记 ，则 . 记 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 根据行列式的定义，有 若记 ，则 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 验证 于是 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 ，所以 . 备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作 . 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式. 验证 我们以三阶行列式为例. 记 根据三阶行列式的对角线法则，有 备注：第 行（列）乘以 ，记作 . 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 备注：第 行（列）提出公因子 ，记作 . 验证 我们以4阶行列式为例. 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如： 则 验证 我们以三阶行列式为例. 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 则 验证 我们以三阶行列式为例. 记 备注：以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作 . 例１ 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值． 解 例2 计算 阶行列式 解 将第 列都加到第一列得 例3 设 证明 证明 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为