大学数学《线性代数》课件.ppt

第一章 数学基础 本章主要内容 1-1 矩阵 # 矩阵的定义与运算 # 矩阵的导数 1-2 矢量 # 矢量、矢量基和基矢量 # 矢量的代数描述 # 矢量对时间的导数 1-3 方向余弦矩阵 1-4 平面矢量 例1-2-2 矢量 由点 Q 指向点 P。点 Q 与 P 的矢径分别为 与 ，它们在基 下的坐标阵分别为： 求矢量 在该基下的坐标阵。 存在矢量关系： 其坐标式为： 将上式展开，可得： 例1-2-3 写出三重叉积与混合积的坐标运算式，已知 三重叉积与混合积分别为 和 设： 1-2-3 矢量对时间的导数 1、矢量导数的定义 前面已经提到，矢量本身与参考基并无关系， 因此，它随时间的变化也与参考基无关。假设在时 刻 t，某矢量的大小与方向为 到时刻 该矢量大小和方向为 定义该矢量在 t 时刻对时间的导数为： 矢量在不同矢量基上对时间的导数 对于不同的矢量基，同一个矢量的描述不一样，矢量对时间的导数自然也不一样 根据以下两式： 和 由于 同样成立 * * 理论力学主要的数学工具是几何矢量。矢量的描述及其运算依靠矩阵。 注意：一般科技书中，矢量也是一种矩阵，但是，理论力学中，二者必须加以区别。 理论力学中涉及到的参数多为矢量 1-1 矩阵 1-1-1 矩阵的定义和运算 称为 m×n 阶矩阵 m 行， n 列 采用黑体字 方括号或圆括号 注意与行列式的区别 若干常用、特殊矩阵： 1、方阵 行数等于列数，如： 2、零矩阵 所有元素都为零 记为：0 3、单位矩阵 主对角线元素为1其余 元素均为零的方阵 4、对称矩阵 元素满足： 5、反对称矩阵 元素满足： 记为：I 矩阵的主要运算规则： 1、矩阵相等，如 A = B 阶数相同，对应元素相等 2、矩阵相加，如A + B 条件？ 结果？ 3、矩阵和标量相乘，如 S · A 所有元素分别乘 S 4、矩阵相乘，如 AB 条件？ 结果？ 规则？ 注意： BA = AB 5、矩阵的转置，记为 AT 矩阵和的转置与积的转置： 6、矩阵的逆矩阵，如 A-1 何谓逆矩阵？ 若 BC = I ，B与C互为逆矩阵 7、正交矩阵 何谓正交矩阵？ 每一列（行）均为单位向量 任意两列（行）的积等于零 B与C必须是方阵，且为满秩矩阵—非奇异阵 若A为正交矩阵，则有： A-1 = AT 例如： 由于 AB = BA = I，所以二者互为逆矩阵。 且A、B均为正交矩阵，即有 A-1 = AT ， B-1 = BT 。 1-1-2 矩阵的导数 1、矩阵对时间的导数 矩阵的元素为时间的函数，如：A = A(t)，元素为Aij(t) 条件是： 结果为： 同阶矩阵，各元素为原矩阵各元素对时间的导数。 表达式： 简记为： 以下关系成立： 例题请自己看书 2、矩阵对变量的偏导数 今有一 m 阶列阵 其中， 元素 为 q 的函数 q 为 n 个变量组成的列阵： 于是，Φ 对变量 q 的偏导数定义为： 举例： 定义由两个变量 θ1 和 θ2 组成的列阵 今有一标量函数 求它们对变量阵 q 的偏导数。 和一3 阶列矩阵 1-2 矢量 1-2-1 矢量、矢量基和基矢量 1、矢量的定义： 矢量是一个具有大小和方向的量，用字母上面加一箭头表示，如： 矢量的大小称为模，记为： 模为1的矢量称为单位矢量，模为零则为零矢量 几何矢量： 矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模（大小），箭头的指向即为其方向。 2、矢量的运算 （1）矢量相等：模相等且方向一致，如： （2）与标量相乘： 结果为一矢量，如： （3）两个矢量的和：结果为一矢量，如： 求和（也称为合成）按 平行四边形法则进行。 求和运算遵循结合率和交换率 多个矢量的和可以两两合成 （4）两个矢量的点积（数量积或标量积）： 结果为一标量，如： 其中，a，b设为矢量的模，θ 为两个矢量正方向的夹角 点积与向量的位置无关，即符合交换率。 （5）矢量的叉积：结果为一矢量，如 的大小为： 的方向： 按照右手法则 θ 矢量叉积的几个问题： （1）服从分配率和结合率； （2）两个矢量交换叉乘位置，结果方向相反； （3）矢量多重积 3、矢量基与基矢量 矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通