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对勾函数论文
対勾函数的研究
课题组长:陈雅明
课题成员:陈嘉绪、白烨、王倩茹
提要:中文:对于対勾函数图像、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性的初步研究。
英文: Check mark function
引言:对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材中不出现而考试总喜欢考,所以也注意和了解它。
文章主体:
(1)定义: 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。形如f(x)=ax+b/x的函数(2)图像:① a=0 或 b=0 时:为简单的单调函数,不予研究。
② a0, b0 时:
③ a0, b0时:
④ a0,b0时:
⑤ a0,b0 时:
接下来,为了研究方便,我们规定a0,b0。之后当a0,b0时,根据对称就很容易得出结论了。
(3)对勾函数的顶点
解决对勾函数的顶点问题与均值不等式(a-b)2≥0 → a2-2ab+ b2≥0
有a2+2ab b2≥ 4ab,(a+b)2≥4ab → a+b≥2sqrt (ab)
得 ax+b/x套均值不等式。
当x0时,。
即对勾函数的定点坐标:
(4)对勾函数的定义域、值域
由解析式:f(x)=ax+b/x得定义域为:
(5)周期性:由图像可知:対勾函数为非周期函数。
(6)奇偶性:对于f(x)=ax+b/x
∵ f(x)=ax+b/x f(-x)= -(ax+b/x)
f(x)= - f(x) ∴ 対勾函数为奇函数
(7)单调性 对于
函数,在为简单的单调函数,不予讨论。
在有如下几种情况:
(1)
(2)
(3)
(4)
设,,则,其定义域为
(1)时,,在上分别单调递增。
故在为单调递增函数。
(2)时,,在上分别单调递减。
故在为单调递减函数
(3)
当时,,
。
当且仅当,即(因为,故舍掉)取等号。
将分为两部分:,
(a)当,
则
因为,所以
对于,
因为,则,故
所以对于
即,时,单调递减。
(b)当
因为,所以
对于,
因为,则,故
所以对于
即,时,单调递增。
当时 ,
,
当且仅当,即(因为,故舍掉)取等号。
将分为两部分:,
(a)当时
则
因为,所以
对于,
因为,则,故
所以对于
即,时,单调递减。
(b)当
因为,所以(注意为什么这样变换)
对于,
因为,则,故
即
所以对于
即,时,单调递增。
由于在定义域内为奇函数,故在上的对应区间里单调性相同。
故在的时候,可根据奇函数的这一性质进行证明。
(4)
当时,,
。
当且仅当,即(因为,故舍掉)取等号。
将分为两部分:,
(a)当,
则
因为,所以
因为:(在时则不用考虑的取值对的影响)
所以:,
因为,则,故
即,(不要忘了)
所以对于
即,时,单调递增。
(b)当
因为,所以
因为:
所以:,
因为,则,故
即
所以对于
即,时,单调递减。
当时 ,
,
当且仅当,即(因为,故舍掉)取等号。
将分为两部分:,
(a)当时
则
因为,所以
因为,所以
因为,则,故
即
所以对于
即,时,单调递增。
(b)当
因为,所以
因为,所以
又因为,则,故
即
所以对于
即,时,单调递减。
由于在定义域内为奇函数,故在上的对应区间里单调性相同。
故在的时候,可根据奇函数的这一性质进行证明。
(七)渐进线
由解析式f(x)=ax+b/x (a0,b0), 令y1=ax, y2=b/x, 则y= y1+ y2,
① 当x无限增大时,y逐渐趋向于y1, 但始终不相交,故y=ax为其一条渐进线。②当x无限趋近于0时,y=b/x无限增大,但始终与y轴无交点,却无限趋近,故x=0为其一条渐进线。
结束语:以上为対勾函数的一些基本性质。在今后的做题过程中,注意加以应用。
执笔人:陈雅明
兰州一中,高一六班
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