对勾函数论文.doc

対勾函数的研究 课题组长：陈雅明 课题成员：陈嘉绪、白烨、王倩茹 提要：中文：对于対勾函数图像、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性的初步研究。 英文： Check mark function 引言：对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材中不出现而考试总喜欢考，所以也注意和了解它。 文章主体： （1）定义：　对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。形如f(x)=ax+b/x的函数（2）图像：① a=0 或 b=0 时：为简单的单调函数，不予研究。 ② a0， b0 时： ③ a0， b0时： ④ a0，b0时： ⑤ a0，b0 时： 接下来，为了研究方便，我们规定a0，b0。之后当a0，b0时，根据对称就很容易得出结论了。 （3）对勾函数的顶点 解决对勾函数的顶点问题与均值不等式(a-b)2≥0 → a2-2ab+ b2≥0 有a2+2ab b2≥ 4ab，(a+b)2≥4ab → a+b≥2sqrt (ab) 得 ax+b/x套均值不等式。 当x0时，。 即对勾函数的定点坐标： （4）对勾函数的定义域、值域 由解析式：f(x)=ax+b/x得定义域为： （5）周期性：由图像可知：対勾函数为非周期函数。 （6）奇偶性：对于f(x)=ax+b/x ∵ f(x)=ax+b/x f(-x)= -（ax+b/x） f(x)= - f(x) ∴ 対勾函数为奇函数 （7）单调性 对于 函数，在为简单的单调函数，不予讨论。 在有如下几种情况： (1) (2) (3) (4) 设，，则，其定义域为 (1)时，，在上分别单调递增。 故在为单调递增函数。 (2)时，，在上分别单调递减。 故在为单调递减函数 (3) 当时，， 。 当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。 将分为两部分：， (a)当， 则 因为，所以 对于, 因为，则，故 所以对于 即，时，单调递减。 (b)当 因为，所以 对于, 因为，则，故 所以对于 即，时，单调递增。 当时 ， ， 当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。 将分为两部分：， (a)当时 则 因为，所以 对于, 因为，则，故 所以对于 即，时，单调递减。 (b)当 因为，所以（注意为什么这样变换） 对于, 因为，则，故 即 所以对于 即，时，单调递增。 由于在定义域内为奇函数，故在上的对应区间里单调性相同。 故在的时候，可根据奇函数的这一性质进行证明。 (4) 当时，， 。 当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。 将分为两部分：， (a)当， 则 因为，所以 因为：（在时则不用考虑的取值对的影响） 所以：, 因为，则，故 即，（不要忘了） 所以对于 即，时，单调递增。 (b)当 因为，所以 因为： 所以：, 因为，则，故 即 所以对于 即，时，单调递减。 当时 ， ， 当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。 将分为两部分：， (a)当时 则 因为，所以 因为，所以 因为，则，故 即 所以对于 即，时，单调递增。 (b)当 因为，所以 因为，所以 又因为，则，故 即 所以对于 即，时，单调递减。 由于在定义域内为奇函数，故在上的对应区间里单调性相同。 故在的时候，可根据奇函数的这一性质进行证明。 （七）渐进线 由解析式f(x)=ax+b/x (a0，b0), 令y1=ax, y2=b/x, 则y= y1+ y2, ① 当x无限增大时，y逐渐趋向于y1, 但始终不相交，故y=ax为其一条渐进线。②当x无限趋近于0时，y=b/x无限增大，但始终与y轴无交点，却无限趋近，故x=0为其一条渐进线。 结束语：以上为対勾函数的一些基本性质。在今后的做题过程中，注意加以应用。 执笔人：陈雅明 兰州一中，高一六班