数学分析第一次课.ppt

* 第一章 引论 利用计算机解决科学计算问题的过程： 实际问题 数值计算方法又称计算方法或数值分析， 是与计算机应用密 切结合的实用性很强的一门数学课程， 它专门研究各类数学问题 的近似解法 数值解法， 为更好的利用计算机解决科学问 题提供了坚实的基础。 构造数学模型 选择数值计算方法 设计计算程序 上机计算求结果 显然数值计算方法的掌握及选择是很重要的一个环节。 1.2 数值计算误差的基本知识 再先进的计算工具计算的结果也有误差。 例1 若用舍入功能为八位的计算器计算，得结果为： 误差太大，即所得近似值很不可靠。 例2 设 则一元二次方程 则得 有两不等实根： 但是用计算机利用求根公式 计算， 的精确值为 算式 1.1 误 差 来 源 1、模型误差： 数学模型与实际问题之间产生的误差 2、舍入误差： 3、观测误差（参量误差）： 数学模型中常包含一些通过观察所 得到的数据，由观测值而产生的误差 4、截断误差（方法误差）： 根据数学模型求得准确值往往是很 困难的，而通常得到的是近似解， 利用数值计算方法得 到的近似解与实际问题的准确值之间产生的误差 因计算机的字长有限而产生的误差 例如，利用泰勒公式，有 若用近似公式 所得截断误差为 1.2.2 绝对误差、相对误差、 与有效数字 三、有效数字 故 有三位有效数字。 例 2 但前者有三位有效数字，而后者有五位有效数字。 例 3 数值运算中的误差传播规律 1.2.2 避免误差增大的若干原则 1、避免相近的两数相减 由二元函数的误差传播规律， 的相对误差估计式为 例1 的精确值为 算式 例如 例 1 中，若用 再用舍入功能为八位的计算器计算，得结果为： 由此, 当相邻两数相减时, 可考虑改变一下算法, 如 当 n 适当大时， 2、避免绝对值相对较小的数作除数 由二元函数的误差传播规律， 的绝对误差估计式为 所以 当 相对较小时， 的绝对误差可能很大。 3、防止大数“吃掉”小数的现象 由于计算机的字长有限，对绝对值悬殊的两数进行计算时，很可能出现大数“吃掉”小数现象，影响结果的可靠性。 例如，在八位十进制计算机上计算 计算机在运算时，先把所求数按照对阶规则进行对阶，即 由于计算机只能存放八位十进制数，后两数在计算机上 就变成“机器零”，得 使计算结果失真，若改变计算次序先将两小数相加，再进行计算，就可避免上述现象，即 4、简化计算步骤，减少运算次数 既可提高效率，又可节省时间，还可使计算中误差的积累减少，是数值计算中必须注意的基本原则。 1.3 数值算法的稳定性和收敛性 给定一些数据，由基本运算规则及规定的运算顺序所构成的完整的解题方案称为算法。 算法是一种近似计算，对同一数学问题，可以有多种不同的算法，所谓好的算法，就是要求它的计算结果能达到给定的精确度，不同的算法，其舍入误差的积累情况是不同的。 运算过程中舍入误差对结果影响不大（即舍入误差不增）的算法称为是稳定的算法，影响严重的算法称为是不稳定的算法。 *