数学分析课件绪论.ppt

§1 绪论 主要内容: 微积分 主要目的:建立一套连续量的运算体系及数学理论 主要研究：一个连续量随另外一个连续量连续地变化的规律。 两个基本问题 1、一个连续量随另一个连续量变化的“瞬时”变化率。几何上是求曲线的切线问题 ? 微分运算 2、计算一个连续量的连续作用的总和或积累 。几何上是求曲线下的曲边梯形的面积问题 ? 积分运算 以上两种运算是互逆的 问题1 问题2 学习方法 物理的背景模型（实物） 几何的形象直观（形象） 抽象的演算推理（数量） 三者的结合。 § 2 实数连续统 集合：把某些东西作为一个整体,称为一个集合,其中的每一个东西称为这个集合的一个元素. 常见的数集：正整数集，整数集，有理数集，实数集, 等. 数系：定义了若干种运算的数集，这些运算满足一定的规律. 例如：正整数集 N+ 及其上的加法和乘法运算和在一起构成了正整数系. 1、运算； 2、数集S对运算的封闭性; 3、运算规律. 几个最重要的数系 正整数系(加乘和大小关系) N+ 整数系(加减乘和大小关系) Z 有理数系(加减乘除和大小关系) Q 实数系(加减乘除和大小关系) R 连续量的数学表示问题 连续量的几何模型: (直线)数轴 定理1.1 不存在有理数 ，使得 . 说明： 思路：扩充有理数系，使新数系是“连续的” 问题：如何扩充？ 问题：如何判断一个数系是连续的？（即：找出连续量的数学特征。） Dedekind的名著《连续性与无理数》中写道： “经过长期徒劳的思考，我终于发现，它的实质是很平凡的。直线上的一点，把直线分成左右两部分，连续性的本质就在于返回去：把直线分割成左右两部分，必有唯一的分点” 定义1.1 若把一个有大小顺序的数系 S 分成 A, B 两类 (属性为集合), 满足下面的性质： Dedekind连续性准则 按Dedekind的准则，可以证明 P10：例 4 下面我们证明实数系是连续的 例: 记 如何比较两个实数的大小： 易知 内容小结 我们要研究数系，因为数学的主要目的是算，而只有数系才能算，离散量的数学模型是正整数系，它对减法运算不封闭，因此把他扩充成整数系，整数系对除法运算不封闭，因此把它扩充成有理数系，有理数对四则运算都封闭了，但他本身是不连续的，因此把它扩充成实数系。实数系本身是连续的，于是它成为了数学分析的活动舞台。 * 第一章 绪论 §1绪论 §2 实数连续统 连续量: 生活中最常见的量。 最基本的两个连续量是： 时间 t ，位移 s。 几何上求曲线的切线问题 微分运算 几何上求曲边梯形的面积 积分运算 形成一套连续量的运算体系 量 离散量 连续量 1、以个体的形式存在，“论个儿”有 最小的单位，不能分。 在数量上可以问多少个，“数一数” 2、在数学上的表示：正整数：1, 2, 3…… 或者说：正整数是离散量的数学模型。 1、没有最小的单位，无限可分 2、连续量的数学表示？ 要能进行运算--需要数系的概念 例如：位移： 千米? 米?cm?mm?微米?纳米?…… 即：有理数与数轴上的点是否一一对应？ 有理数 数轴上的有理点 有理点填满整个数轴 有理数系是连续量的数学表示 稠密 ? ? ? A OU = 1, RtΔOUB 为一等腰直角三角形. 再以 OB 为半径作圆与数轴交与点 A，则 OA = . 由此可见，OA 不能用一个有理数表示出来，即 A 不是一个有理点. B O U 证明: 用反证法。 , 其中 p, q 是互素的正整数，使得 ，即 p2 = 2 q2, 可见 从而 p 是偶数. p2 是偶数， 设 p = 2l, l ∈ N+, 则 4 l 2 = 2 q2, 即 2 l 2 = q2. 这表明 q2 是偶数, 从而 q 是偶数. 这与 p, q 互素相矛盾. 故不存在有理数 ，使得 . 如果不然，设存在有理数 有理数与数轴上的点不是一一对应关系 若把直线看成是连续的，那么有理点集就是不连续的，或者说有理数系本身是不连续的 有理数系有空隙。 例：在平方大于 2 的正数与平方小于 2 的正数之间断开了。 事实上：在整个有理数系中到处都是空隙。从而有理数系不能刻画连续量。即不能作为连续量的数学表示。那么，用什么量来表示连续量呢？ 一个直接的想法：在有理数系中加进一些数，让它们对应于那些空隙，即把数轴上的空隙都填满了，这样就可以得到一个“连续”的数系。 与原来有理数的运算是否一致？大小关系是否不变？ 填多少? 怎么算填满了？ 把这句话