新人教版数学必修一第一章 集合与函数概念复习.ppt

专题一 数形结合思想在函数中的应用 数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，具有直观性、 灵活性和深刻性的特点，并跨越各学科界限，有较强的综合性， 加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识、打好基础、提高 能力有重要作用． 【例 1】 用 min{a，b}表示 a，b 两数中的最小值，若函数 t 的值为( ) 图 1-1 A．－2 B．2 C．－1 D．1 思维突破：由图形可以看出，要使图象关于x＝－ 对称， 则 t＝1. 答案：D 数形结合的实质是“以形助数”或“以数解 形”，运用数形结合思想解题，不仅直观且易于寻找解题途径， 更可以避免繁杂的计算和推理． 【互动与探究】 1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价 格曲线 y＝f(x)，一种是平均价格曲线 y＝g(x)，如 f(2)＝3 表示 开始交易后 2 小时的即时价格为 3 元，g(2)＝4 表示开始交易后 2 小时内所有成交股票的平均价格为 4 元，下面所给出的四个 图象中，实线表示 y＝f(x)，虚线表示 y＝g(x)，其中可能正确的 是( ) A B C D 解析：f(0)与 g(0)应该相等，故排除 A，B 中开始交易的平 均价格高于即时价格，D 中恰好相反．故选 C. 答案：C 2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假 定为直线)行驶．甲车和乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图 1-2)．那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的是 ( ) A．在 t1 时刻，甲车在乙车的前面 B．t1 时刻后，甲车在乙车的后面 C．在 t0 时刻，两车的位置相同 D．t0 时刻后，乙车在甲车的前面 图 1-2 解析：由图象可知：曲线 v甲比 v乙在 0～t0，0～t1 与x 轴所 围成图形面积大，则在t0 和t1 时刻，甲车均在乙车前面．故选A. 答案：A 专题二 分类讨论思想在函数中的应用 解分类讨论问题时，以下几点要予以足够重视： (1)做到分类讨论不重复、不遗漏． (2)克服分类讨论中的主观性和盲目性． (3)注意掌握好基础知识、基本方法，这是解分类讨论问题 的前提条件． 【例 2】 已知二次函数 f(x)＝x2－16x＋q＋3. (1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数 q 的取值范围； (2)是否存在常数 t(t≥0)，当 x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为 12－t(视区间[a，b]的长度为 b－a)． 解：(1)∵f(x)＝x2－16x＋q＋3 的对称轴是 x＝8， ∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数． 函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有： f(1)≤0， f(－1)≥0， 即 1－16＋q＋3≤0， 1＋16＋q＋3≥0， ∴－20≤q≤12. (2)当 0≤t10 时，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间(8,10] 上是增函数，且对称轴是 x＝8. ①当 0≤t≤6 时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小， ∴f(t)－f(8)＝12－t，即 t2－15t＋52＝0. ②当 6t≤8 时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小， ∴f(10)－f(8)＝12－t，解得 t＝8. ∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0. 解得 t＝8 或 t＝9，∴t＝9. “区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区 间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型．本例中的 二次函数是对称轴固定，而区间不固定，因此需要讨论该区间 相对于对称轴的位置关系，即分情况讨论． ③当 8t10 时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小， 【互动与探究】 (1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数 a 的取 值范围． 解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝x2， ∵对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 取 x＝±1，得 f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)． ∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设 2≤x1＜x2， 要使函数 f(x) 在 x ∈[2 ，＋∞) 上为增函数，必须 f(x1) － f(x2)＜0 恒成立． ∵x1－x2＜0，∴a＜x1x2(x1＋x2)恒成立． 又∵x1＋x2＞4，x1x2＞4，