抽象函数和函数的解析式.doc

解析式的求法 代入法 ，求 待定系数法 二次函数满足，且的两实根平方和为10，图像过点 ; 已知二次实函数，且+2+4 换元法 ， , 配凑法 ， 消元法（构造方程组法）， 利用函数的性质求解析式 例1. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且时， 求解析式 答案： 例2.已知=为奇函数,当 0时,,求 解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求0时的表达式。∵-0,∴, ∵为奇函数，∴∴当0时∴ 例3．一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,. 解：∵为偶函数，为奇函数，∴,, 不妨用-代换+= ………①中的, ∴即－,求出函数再代入①求出 7.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式 例：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求 解：∵的定义域为N，取=1,则有 ∵=1,∴=+2,…… 以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴ 二、利用函数性质，解的有关问题 1.判断函数的奇偶性： 例： 已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。 证明：令=0, 则已知等式变为……① 在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。 解：由得，∵为函数，∴ 又∵在（-1，1）内递减，∴ 作业： 1.若函数定义域为，则函数的定义域为 2.已知，则= 3.已知，则= 4.设是定义在R上的函数，且满足，当时，，求时的解析式 二、四类抽象函数解法 线性函数型抽象函数 例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。 解：设，∵当，∴， ∵， ∴，即，∴f（x）为增函数。 在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数， ∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，∵当，∴，则， 即，∴f（x）为单调增函数。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 a 3。 2、指数函数型抽象函数 例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求： （1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 解：（1）令y＝0代入，则，∴ 。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。 （2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。 3、对数函数型抽象函数 例4、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）； （2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。 解：（1）∵，∴f（1）＝0。 （2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9）， 即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故 ，解之得：8＜x≤9。 4、幂函数型抽象函数 例5、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。 （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若，求a的取值范围。 分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。 解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴ f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。 （2）设，∴，， ∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。 （3）∵f（27）＝9，又， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，又，故。