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数学实验作业四
数学实验作业四
题目:P120. 1.d);4);5)
日期:2003-3-23
【实验内容】:
一:用欧拉方法和龙格-库塔方法求微分方程数值解,画出解的图形,对结果进行比较分析。以下方程供选择:
a)
b)
c) (Bessel方程,令n=1/2),精确解
d) 幂级数解
【模型建立】:
原方程化为
记,并用t代替x,则原方程化为:
;且;
于是可以用龙格-库塔法求解。
【模型求解】:
用Matlab作龙格-库塔法求解:
% chapter 4—1.d
%此函数是微分方程组
function Xdot=ch41dfun(t,x)
Xdot=[x(2),-cos(t)*x(1)];
%ch41d.m
function I=ch41d(a)
x0=[1,0];
[t,x]=ode45(ch41dfun,[0,a],x0);
y=x(:,1);
plot(t,y,r);hold on;gtext(y);
y1=1-1/jiecheng(2)*t.^2+2/jiecheng(4)*t.^4-9/jiecheng(6)*t.^6+55/jiecheng(8)*t.^8;
plot(t,y1,b);gtext(y1);
[t,y,y1]
hold off;
运行程序可以得到: (只保留图像,数据省略)
图1
ch41d(10)
(数据省略,y1图象也省略)
图2
ch41d(15)
图3
ch41d(20)
图4
【结果分析】:
由图1得:y(龙格-库塔方法)和y1(级数近似解)在0到大约1.5的区间内是完全吻合的,从x=1.5之后,两条曲线开始分离。之后y的变化趋势可见图2-图4,呈幅度越来越大的上下震荡。
对y取绝对值后再取对数,得到其图象为:
由此图可见:|y|基本是随x指数增加的,并上下振动,可以猜测|y|接近于的形式。
四:求解“火箭发射”问题。
【模型分析】:
从上图可以看出,开始的几个点基本呈线性;而以后的几
模型假设:
1) 时,F与x呈正比,F(x)=kx;
模型建立:
采用最小二乘法,目标函数为
模型求解:
为求出J的最小值,应保证
编程语句如下:
function [k,a,b,c]=number8(m)
x = [1, 2, 4, 7, 9, 12, 13, 15, 17];
运行程序可以得到:
x0 = 7.9342
同时得到拟合曲线如下:
结论:
五:一只小船渡过宽为d的河流(见下图),目标是起点A正对着的另一岸B点。已知河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为k。
a)建立小船航线的方程,求其解析解。
b)设d=100m,v1=1m/s,v2=2m/s,用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线,作图,并与解析解比较。
c)若流速v1为0,0.5,1.5,2(m/s),结果将如何?
【模型建立】:
如图,以B为原点,沿河岸向右为x轴正向,垂直河岸向下为y轴正向,建立坐标系。设在t时刻,船在x方向上的位移是x(t),在y方向上的位移是y(t),则:在t时刻,船在x方向上的速度是,在y方向上的速度是,将船的速度V和静水速度V1在x,y轴方向上分解,可得:
,
又因为船头始终指向B点,所以,所以:
,即
这就是本题的微分方程。初始条件为:x(0)=0,y(0)=-d
【模型求解】:
1.解析解:
令,将直角坐标化成极坐标,则原微分方程化成:
;
化简后为:
消去t,得:
于是解得:,其中
2.数值解法:根据上述微分方程,用龙格-库塔方法求解:
程序如下:
%ch45fun.m
%第四章第5题
%此函数是微分方程组
function Xdot=ch45fun(t,x,V1,V2)
%x(1)代表x;x(2)代表y
%加入限制条件,防止无限循环
if (norm(x)1e-5)
Xdot=[V1-V2*x(1)/sqrt(x(1)^2+x(2)^2),-V2*x(2)/sqrt(x(1)^2+x(2)^2)];
else
Xdot=[0,0];
end
%ch45.m
%第四章第5题
function I=ch45(V1,V2,d,a)
x0=[0,-d];%初始条件
[t,x]=ode45(@ch45fun,[0,a],x0,[],V1,V2);
plot(x(:,1),x(:,2),r);hold on;
%作图
[t,x(:,1),x(:,2)]
%打印数据
%下面是作出精确解的图象
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