数学建模__细菌繁殖问题.doc

细菌繁殖 摘要 本文针对酵母菌种群繁殖的基本特点，为达到解决所列出的三个问题的目的，建立了符合实际情况的预测模型。 预测模型：根据题目给出的已知条件，最终建立了符合本题的Logistic模型。综合考虑了各种因素，利用计算机MATLAB编程分别对问题进行求解，并分别绘制出本题的Logistic数学模型和问题三中所列的二次多项式的曲线，以供对比。 对于问题一得出，本文建立了种群预测的Malthus模型以及符合本题的Logistic模型，模型中参数K的值为：0参数M的值为：663.97。 对于问题二得出，自初始时刻起，20小时时酵母菌的数量为：663.06。该种群的增长呈现出S型，前期呈指数型增长，中后期增长缓慢，种群数量最终达到最大值：663.97。 对于问题三得出，根据计算机MATLAB程序绘制出的本题Logistic数学模型以及问题三中所列的二次多项式的曲线。对两条曲线进行对比，易知符合本题的Logistic模型具有更好的预测能力。 关键词：Malthus模型；Logistic模型；MATLAB；预测 1 问题重述 已知酵母菌种群在培养物中的增长情况，见附录中表a所示。现根据已有的数据来预测酵母菌的数量，要求尽量与实际相符。 根据以上题目所给的条件及数据，回答以下问题： 问题一：建立酵母菌数量的数学模型，确定模型中的未知参数； 问题二：利用问题一中的模型，预测20小时时酵母菌的数量； 问题三：若用二次多项式（其中为常数）作为新模型，试从误差角度说明新模型与问题一中的模型哪个具有更好的预测能力，并画出对比曲线。 2 问题的基本假设与说明 1）假设题目所给的数据全部真实可靠，可以作为检验所建立的数学模型的准确性的事实依据。 2）在自然环境中，细菌繁殖增长会受到各方面复杂因素的影响，为简化模型，本文以题目中给出的实测数据，作为衡量所建立的数学模型准确度的主要因素。 3）本文中该酵母菌种群的繁殖方式不随时间变化。 3 符号说明 符号 表示意义 t 时刻（单位为小时） N(t) t时刻时酵母菌的数量 M 酵母菌数量的最大值 K、k 常系数 N0 酵母菌的初始数量：9.6 4 问题的分析 自然界中某酵母菌种群数量的变化和随着时间的发展过程，是由很多因素决定的，自然环境、资源制约、种群的繁衍能力、种群的存活能力等，都能严重的影响种群的繁衍过程。然而，自然环境、资源制约却是决定该种群数量变化的直接原因。综合考虑这些因素成为构建符合本题中酵母菌种群繁殖预测模型的关键。 建立模型对该酵母菌种群发展过程进行定量预测，就是根据现有的统计资料和初始数据，从当前实际出发，并对未来的种群发展过程，提出合理的控制要求和假设说明，应用科学的方法，预测该种群数量的发展趋势。为此，本文建立了具有预测性的Malthus模型，在综合考虑各影响因素后，建立了符合本题的Logistic模型。Logistic模型相比Malthus模型以及题中所述的二次多项式模型，更符合题目要求，用题中所给的实测数据检验后发现在误差允许范围内，是十分准确的；从误差的角度分析，Logistic模型具有更好的预测能力。 5 模型的建立与求解 5.1 数据预处理 由于题中所给数据的不完备性，并不能由它来预测未来种群的发展情况，但是基于抽样调查的等概率性，可以认为它反应的种群增长情况是符合实际情况的，因此认为，根据题中数据，结合所建立的合理的数学模型，准确地对该酵母菌种群的繁殖增长数量作出合理预测。题中所给数据见附录中表a。建模初始，本文将题中所给数据分为两部分考虑，其中前八组数据为第一部分，其余数据为第二部分。 5.2 模型一：种群预测的Malthus模型 5.2.1 模型的建立 在任意时刻t，细菌的繁殖速度显然可以用表达式 来表示，设时刻细菌数量为。我们将时间间隔[0, t]分成n 等份。由于细菌的繁殖是连续变化的，在很短的一段时间内细菌数量的变化是很小的，繁殖速度可近似看成是不变的。因此，在第一段时间内，细菌数量满足关系式 时段内细菌的增量为 故时刻细菌数量为 同理，第二时段末细菌的数量为 依次类推，可以得到，最后一时段末细菌的数量为 （1） 由于这是一个近似值。因为我们假设了在每一小段时间()内细菌的繁殖速度是不变的，且等于该时段初始时刻的变化速度。但这种近似程度将随着小区间的长度的缩小精度越高。若对时间间隔无限细分，就可以得到精确值。所以，经过时间后细菌总数为 （2） 即种群预测的Malthus模型为：。 5.2.2 模型的求解 本文结合题中所给实测数据的第一部分，运用计算机MATLAB程序对（2）式进行求解，