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数学分析期末考试试题∵
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数学分析期末考试试题
一、叙述题:(每小题6分,共18分)
牛顿-莱不尼兹公式
收敛的cauchy收敛原理
全微分
计算题:(每小题8分,共32分)
1、
2、求由曲线和围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。
3、求的收敛半径和收敛域,并求和
4、已知 ,求
三、(每小题10分,共30分)
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
2、讨论反常积分的敛散性
3、讨论函数列的一致收敛性
四、证明题(每小题10分,共20分)
1、设,证明发散
2、证明函数 在(0,0)点连续且可偏导,但它在该点不可微。,
参考答案
一、1、设在连续,是在上的一个原函数,则成立
2、使得,成立
3、设为开集,是定义在上的二元函数,为中的一定点,若存在只与点有关而与无关的常数A和B,使得则称函数f在点处是可微的,并称为在点处的全微分
二、1、分子和分母同时求导
(8分)
、两曲线的交点为(0,0),(1,1)(2分)
所求的面积为:(3分)
所求的体积为:(3分)
解:设,,收敛半径为1,收敛域
[-1,1](2分)(3分)
x=0级数为0,x=1,级数为1,x=-1,级数为1-2ln2(3分)
4、解: =(3分)(5分)
三、1、解、有比较判别法,Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等(应写出具体的内容4分)
(4分)由D’Alembert判别法知级数收敛(1分)
2、解:(2分),对,由于故p0时收敛(4分);,由于(4分)故对一切的p收敛,综上所述p0,积分收敛
3、解:收敛于(4分)所以函数列一致收敛性(6分)
四、证明题(每小题10分,共20分)
1、证明:(6分)
发散,由比较判别法知级数发散(4分)
2、证明:(4分)=0所以函数在(0,0)点连续,(3分)又,存在切等于0,(4分)但不存在,故函数在(0,0)点不可微(3分)
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