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数学建模试卷及答案
《数学模型》试卷
一、基本问题。(本大题共2小题,每小题20分,共40分)
1.在七项全能中对于跳高运动的记分点方法由下式给出:
其中是跳的高度(按cm计)。求跳的高度为183cm的记分点,并确定积分1000点需要跳的高度。
2.铁匠用直条铁做蹄铁,把直条铁弯成通常铁蹄的形状。为求得铁条需要的长度,要测量蹄的宽度(W英寸),并用下列形式的公式:
求得需要的条长度(L英寸)。试用下列数据求的和的估计值。并得出该公式的估计式。
宽W(英寸) 长L(英寸)
12.00
13.50
二、渔场捕捞问题。(本大题共3小问,每小问20分。满分共60分。)
三、在渔场中捕鱼,从长远利益而言,通常希望既使渔场中鱼量保持不变,又能达到最大的捕获量。假设:
(1)在无捕捞的情况下,鱼量的变化符合Logistic模型:,其中:为固有增长率,是渔场资源条件下最大鱼量;
(2)在捕捞的情况下,设单位时间的捕捞量与渔场中的鱼量成正比。
1.建立在有捕捞的情况下,渔场的产量模型;
2.研究该模型鱼量的稳定性;
3.找出该模型下适合的捕捞量。
《数学建模》考试卷(答案)
一、1.解:把代入记分公式,得
=
(=1016.5)
由公式,有,解得公式:
把代入上式,得
(=106.7+75.0=181.7)
2.解:把两组数据和分别代入公式
得方程组:
解得:
所以的估计值为:。
从而得回归方程为:
二、解:1.记时刻渔场中的鱼量为,渔场资源条件所限制的最大量,鱼的固有增长率为,单位时间的捕捞量为,其中为捕捞率(表示单位时间内的捕捞量与渔场中鱼总量之比)可以人为控制。
于是,在有捕捞的情况下,满足产量模型为:
(1)
2.在渔场中的鱼量保持稳定性,是我们关心的问题。由常微分方程稳定性判断的知识,不需具体求解方程(1),只需讨论由方程(1)所确定的平衡点的稳定性即可。为此:
令:,可解得方程的两个平衡点为:
(2)
由 (3)
把和分别代入(3)式,得:
,,则,当时,有:
,
所以,此时是稳定的平衡点,而是不稳定的平衡点,且无实际意义。
因此,是捕鱼所必须遵循的条件。即捕捞率必须小于渔场中鱼量的固有增长率,才能保证在渔场中鱼量稳定。
3.如何控制捕捞率,使在保证渔场中鱼量稳定的条件下,获得最大的捕捞量,即为适合的捕捞量。这即是求函数
(4)
在条件
(5)
下的极大值。
由式(5)得:
(6)
(6)代入(4)得:
(7)
在式(7)中,由得 。
由式(7):
(8)
于是,,所以是式(4)条件下式(3)的极大值。此时,
(9)
(10)
又,,所以是稳定的平衡点。
由此可得结论:当控制捕捞率时,就可获得最大的捕捞量,而且又能保持渔场中鱼量稳定(即稳定在最大鱼量的一半)。
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