数学建模试卷及答案.doc

《数学模型》试卷 一、基本问题。（本大题共2小题，每小题20分，共40分） 1．在七项全能中对于跳高运动的记分点方法由下式给出： 其中是跳的高度（按cm计）。求跳的高度为183cm的记分点，并确定积分1000点需要跳的高度。 2．铁匠用直条铁做蹄铁，把直条铁弯成通常铁蹄的形状。为求得铁条需要的长度，要测量蹄的宽度（W英寸），并用下列形式的公式： 求得需要的条长度（L英寸）。试用下列数据求的和的估计值。并得出该公式的估计式。 宽W（英寸） 长L（英寸） 12.00 13.50 二、渔场捕捞问题。（本大题共3小问，每小问20分。满分共60分。） 三、在渔场中捕鱼，从长远利益而言，通常希望既使渔场中鱼量保持不变，又能达到最大的捕获量。假设： （1）在无捕捞的情况下，鱼量的变化符合Logistic模型：，其中：为固有增长率，是渔场资源条件下最大鱼量； （2）在捕捞的情况下，设单位时间的捕捞量与渔场中的鱼量成正比。 1．建立在有捕捞的情况下，渔场的产量模型； 2．研究该模型鱼量的稳定性； 3．找出该模型下适合的捕捞量。 《数学建模》考试卷（答案） 一、1．解：把代入记分公式，得 = （=1016.5） 由公式，有，解得公式： 把代入上式，得 （=106.7+75.0=181.7） 2．解：把两组数据和分别代入公式 得方程组： 解得： 所以的估计值为：。 从而得回归方程为： 二、解：1．记时刻渔场中的鱼量为，渔场资源条件所限制的最大量，鱼的固有增长率为，单位时间的捕捞量为，其中为捕捞率（表示单位时间内的捕捞量与渔场中鱼总量之比）可以人为控制。 于是，在有捕捞的情况下，满足产量模型为： （1） 2．在渔场中的鱼量保持稳定性，是我们关心的问题。由常微分方程稳定性判断的知识，不需具体求解方程（1），只需讨论由方程（1）所确定的平衡点的稳定性即可。为此： 令：，可解得方程的两个平衡点为： （2） 由 （3） 把和分别代入（3）式，得： ，，则，当时，有： ， 所以，此时是稳定的平衡点，而是不稳定的平衡点，且无实际意义。 因此，是捕鱼所必须遵循的条件。即捕捞率必须小于渔场中鱼量的固有增长率，才能保证在渔场中鱼量稳定。 3．如何控制捕捞率，使在保证渔场中鱼量稳定的条件下，获得最大的捕捞量，即为适合的捕捞量。这即是求函数 （4） 在条件 （5） 下的极大值。 由式（5）得： （6） （6）代入（4）得： （7） 在式（7）中，由得 。 由式（7）： （8） 于是，，所以是式（4）条件下式（3）的极大值。此时， （9） （10） 又，，所以是稳定的平衡点。 由此可得结论：当控制捕捞率时，就可获得最大的捕捞量，而且又能保持渔场中鱼量稳定（即稳定在最大鱼量的一半）。