数学建模计算实验chen.doc

《数学建模》 信计091 200900901005 陈康丽 实验一：matlab函数拟合 实验目的：掌握用matlab进行函数拟合的方法。 实验内容： 实例1.（汽车刹车距离问题）某汽车司机培训课程中有这样的规则：正常驾驶条件下，车速每增16公里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的渐变办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。 这个规则的合理性如何是否有更合理的规则。下表是测得的车速和刹车距离的一组数据。 车速（km/h） 20 40 60 80 100 120 140 刹车距离（m） 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5 解：模型假设： 刹车距离y等于反应距离y1与制动距离y2之和。即y=y1+y2. 反应距离y1与车速v成正比，比例系数为反应时间k1。即y1=k1*v 刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比. 模型建立 由假设2，y1=k1v,由假设3，在F作用下行驶距离y2作的功F*y2 使车速从v→0，动能的变化为mv^2/2，又由牛顿第二定律可知F＝am，，其中刹车时的减速度a为常数，于是y2=k2*v^2,其中k2为比例系数，实际k2=1/2a,由假设1，刹车距离为 y=k1v +k2v^2 模型求解：用最小二乘法拟合，则程序运行过程有： v=[20,40,60,80,100,120,140]./3.6; s=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5]; fun=inline(k(1).*v+k(2).*v.*v,k,v); k=lsqcurvefit(fun,[20,140],v,s) Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun. k = 0.6522 0.0853 于是s=0.6522v+0.0853v^2; 模型应用：因为在实际中k2=1/2a 则a=5.86166 v=at1，其中t1为刹车时间，又k1为反应时间，即最终时间：t=k1+t1。 v=[20 40 60 80 100 120 140]/3.6; a=5.86166;t0=0.6522;s=0.6522.*v+0.0853.*v.^2 s = 6.2560 17.7775 34.5644 56.6168 83.9346 116.5178 154.3664 t=t0+v./a t = 1.6000 2.5478 3.4955 4.4433 5.3911 6.3389 7.2866 根据车速的不同刹车时间t如下表： 车速（km/h） 20 40 60 80 100 120 140 刹车距离（m） 6.2560 17.7775 34.5644 56.6168 83.9346 116.5178 154.3664 刹车时间（秒） 1.6000 2.5478 3.4955 4.4433 5.3911 6.3389 7.2866 后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志，t由下表给出： 车速(km/h) 0—10 10-60 60—100 100-140 t(秒) 1 2 4 6 则根据车速的快慢，随着车速越快的时候，刹车时间越久所以2秒准则是不合理的。 实例2：根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。 表1 美国人口统计数据 年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×106) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口(×106) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 解：问题分析 最简单的人口增长模型：记今年人口为x，k年以后人口为x，年增长率为r，则x=x(1+r)——（1）其中年增长率保持不变. 模型建立 模型一：记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x(t)是一个很大的整