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无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 小结 §5.4 反常积分 (广义积分) improper integral 第五章 定积分 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 反常积分 推广 定义1 即 当极限存在时, 称反常积分 当极限不存在时, 称反常积分 如果极限 存在, 则称这个极限值 反常积分, (1) 收敛; 发散. 一、无穷限的反常积分 即 当极限存在时, 称反常积分 当极限不存在时, 称反常积分 存在, 如果极限 则称这个极限值 反常积分, (2) 收敛; 发散. 如果反常积分 和 都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 称反常积分 上的反常积分, 即 收敛; 记作 发散. 否则称反常积分 (3) ) ( x f , d ) ( ò ￥ + ￥ - x x f ò ￥ + ￥ - x x f d ) ( ò ￥ + ￥ - x x f d ) ( 注 为了方便起见, 规定: 对反常积分可用如下的简记法使用N--L公式, 这时反常积分的收敛与发散取决于 和 是否存在. b b x F x x f ￥ - ￥ - ò = ) ( d ) ( 例 计算反常积分 解 反常积分的积分值 的几何意义 提示： 例 解 例 计算反常积分 解 证 因此 收敛, 其值为 发散. 例 证明反常积分 * 1.计算 2002年考研数学(一)填空3分 解 2.位于曲线 下方, x轴上方的 无界图形的面积是 解 2002年考研数学(二)填空3分 定义2 即 当极限不存在时, 称反常积分 则称此极限为 仍然记为 如极限 存在, 也称反常积分 函数 二、无界函数的反常积分 (瑕积分) 反常积分, 收敛; 发散. 瑕点 (1) 上的 在 ] , ( ) ( b a x f 否则, 则定义 如极限 存在, (2) 瑕点, 称反常积分 发散. 的 为 点 ) ( x f b 若等号右边两个反常积分 如果 则定义 否则, 就称反常积分 发散. 都收敛, (3) 瑕点, 反常积分 注 如瑕点在区间内部, 分别讨论各段瑕点积分. 通常用瑕点将区间分开, , ) ( 外连续 除 b c a c x = 的 点为 ) ( x f c - ? c t lim 例 计算反常积分 解 为瑕点, 这个反常积分值的 直线x = 0与x = a 位于曲线 x 轴之上, 之间的图形面积. 几何意义 之下, 注 为了方便起见, ? 由N—L公式, 则反常积分 规定: ? ), ( ) ( x f x F = ￠ = ò b a x x f d ) ( ) ( ) ( + - a F b F - = ) ( b F ) ( lim x F a x + ? = ò b a x x f d ) ( ) ( ) ( lim a F x F b x - - ? 例 计算反常积分 解 故原反常积分发散. 解 例 当c (a?c?b)为瑕点时? 解 例 当q?1时? 此反常积分发散? 证 反常积分收敛, 其值为 反常积分发散. 例 证明反常积分 * 例 求 解 发散. 也发散. 注 错误的做法: = ò x x d 1 1 0 Q 例 解 试用分段函数表示 ò ￥ - t t f d ) ( 无界函数的反常积分(瑕积分) 无穷限的反常积分 注意 三、小结 1. 不要与常义积分混淆; 2. 不能忽略内部的瑕点. 思考题 积分 的瑕点是哪几点？ 解答 积分 不是瑕点, 的瑕点是 可能的瑕点是 又 * *