应用数理统计4.ppt

抽样分布(续) 统计量的分布称为抽样分布，求出统计量的分布函数是数理统计的基本问题之一。 精确分布与小样本问题 极限分布与大样本问题 抽样分布(续) 第二章 参数估计 点估计 矩估计方法 极大似然估计法 顺序统计量法 区间估计 第一节 点估计 例1 某灯泡厂灯泡的寿命X?N(?,?2)，当?,?2未知，试估计?,?2 例2 设总体X的密度函数为 试估计其参数? 矩估计 例4 设EX2存在，求? 和?2的矩估计。 例5 设X~?(?),求均值与方差的矩估计。 矩估计的优点 不依赖总体的分布，简便易行 只要n充分大，精确度也很高。 矩估计的缺点 矩估计的精度较差； 要求总体的某个k阶矩存在； 要求未知参数能写为总体的原点矩的函数形式 极大似然估计 问题 设总体X的密度函数为f(x, ?), ?是未知参数。 例6 设总体X 服从参数为λ的指数分布，即有概率密度 例7 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，即X有分布列（分布律） * 第一章 数理统计初步 第一章 数理统计初步 非正态总体的抽样分布 大样本的极限分布 非正态总体的抽样分布 例1 设总体X~?(?), （X1,X2,…,Xn) 为来自总体X的样本，求样本均值的分布。 例2 设总体X~E(?), （X1,X2,…,Xn) 为来自总体X的样本，求样本均值的分布。 当样本容量n趋于无穷时，若统计量的分布 趋于一定的分布，则称后者为该统计量的极限 分布。它提供了统计推断的一种近似解法。所 谓大样本指样本容量n30,最好大于50或100. （一）统计量的渐近分布 非正态总体大样本的抽样分布 定义1 对于统计量Tn,若存在常数序列 使得 则称Tn的渐近分布为 定理1 设总体X的分布函数为F(x), X1,X2,…,Xn 为来自总体X的样本，则样本的 均值的渐近分布为 定理2 设总体X的分布函数为F(x), X1,X2,…,Xn 为来自总体X的样本，则 定理3 设（X1,X2,…,Xm) 与（Y1,Y2,…,Yn) 是来自X~N(?1,?12)与Y~N(?2,?22)的两独立样本，则当n趋于无穷， m趋于无穷时有 定义2 设统计量Tn为某个待估函数g(?)的估 则称Tn是g(?)的渐近正态估计。 计量,若对于每个 设X为一总体, 它的分布族为 (有的材料记为统计模型 ) 例3 已知水文站最高水位X服从?(?，?),即 试估计其参数?，? 通常我们也称其为参数。 但上述有关参数的概念并不仅仅局限于 参数统计模型， 在非参数统计模型中亦存在， 参数概念的推广 特征数也都是参数。一般地，有关参数和估 计量，我们有如下定义。 定义 参数（Parameter）, 估计量 （Estimate），简称估计。 问题 理论依据 样本矩依概率收敛于总体矩。 矩方程 矩估计量 上面方程(1)的解称为参数?的矩估计量, 记为 。并把这种求估计量的方法称为矩方法。 这矩方程确定了含k个未知参数的方程组，其中 al是总体的l阶原点矩。 注意： 1. 总体存在适当阶的矩。 反例，考虑Cauchy分布，其密度函数为 其各阶矩均不存在。 2. 对相同的参数 ，存在多个矩估计。 例如，考虑总体是参数为 的Poisson分布， 理论依据 只要n足够大，极大似然估计和未知参数的真值可以任意接近。 极大似然估计 如果L在 达到最大值，则称 是?的极大似然估计。这种求估计量的方法称为极大似然法。 似然函数 L(x1,x2,...,xn, ?) 基本思想 就是选取?，使得样本落在取定的样本值的邻域内的概率最大。 极大似然估计的优点 不仅吸收了提供的样本参数的信息，也利用了分布函数形式已知的有利条件，因此得到的估计量的精度一般较高。 极大似然估计的缺点 要求必须知道总体的分布函数形式 又x1,x2,…xn为来自于总体的样本值，试求 λ的极大似然估计 解 似然函数为 于是 方程 其根为 经验证， 在 处达到最大， 所以 是λ 的极大似然估计。 现来看离散型总体的极大似然估计 θ是未知参数 设x1,x2,…xn为来自于总体X的样本值, 其中 , 则似然函数为 一般地，若总体X是离散型的随机变量，有分布律(分布列) 如果有一个统计量 使 ＝ 则称 是θ的极大似然估计量。 λ＞０ λ是未知参数，试求其极大似然估计。 解 *