信号分析与处理离散傅立叶变换（DFT)----有限长序列的离散频谱表示.ppt

* 四、快速傅立叶变换（FFT） DFT的计算量 DFT的特点及FFT的思想 基-2算法的FFT的基本思路 FFT算法的特点 * 1、DFT的计算量 DFT N点DFT的计算量： 每计算一个X(k)值需要进行N次复数相乘，N-1次复数相加； 对于N个X(k)点，完成全部DFT运算共需N2次复数相乘和N(N-1)次复数加法。 * 2、DFT的特点及FFT的思想 （1）Wr 的周期性 （2）Wr的对称性 * 2、DFT的特点及FFT的思想 （3）由于DFT计算量与N成几何级数增长，可以将长序列分解成多个短序列信号，然后分别求各个短序列的DFT，最后将它们组合，得到原序列的DFT。 利用以上DFT运算的特点，即可得到序列的FFT算法。 * 3、基-2算法的FFT的基本思路 序列的长度是2的整数幂时, 将x(n)分解（抽取）成较短的序列，然后从这些序列的DFT中求得X(k)的方法。 * (1)按时间抽取的FFT算法 以 为例的DFT * * 第二行和第 三行互换 第二列和第 三列互换 x(1)和x(2) 互换 矩阵等式不变 只和 有关 只和 有关 * N点的DFT是否可以分成两组N/2点的DFT? 设序列x(n)的长度为N=2r，x(n)被分解（抽取）成两个子序列，每个长度为N/2. 第一个序列g(n)由x(n)的偶数项组成： 第二个序列h(n)由x(n)的奇数项组成 * x(n)的N点的DFT表示为： N/2点的DFT N/2点的DFT 主值周期为N/2的X（k） * 另外主值周期还有N/2点的X(k) 如果N/2为偶数，还可以再次进行分解，直到只剩下2点的DFT * N=4为例DFT分组 N/2 点 的DFT (n 为偶数） N/2 点 的DFT (n 为奇数） N点的 DFT * N=4为例DFT的信号流图 * 4、FFT算法的特点 基本运算单元为一个蝶形，第m级的蝶形 上节点 下节点 每一蝶形是独立的 每一级中有N/2个蝶形 * 8点按时间抽取FFT第一阶段的运算框图 * 按时间抽取FFT将4点DFT分解为两个2点DFT * 一个完整的8点基2按时间抽取FFT * FFT应用中的注意事项 信号离散时，采样频率要满足奈奎斯特频率 N一定是2的整数次幂，若不是，要补若干个零，凑成2的整数次幂。 数据长度要取得足够长 是数据的实际长度 是频率分辨率 * * 三、离散傅立叶变换（DFT)----有限长序列的离散频谱表示 * 三、离散傅立叶变换（DFT) ----有限长序列的离散频谱表示 从有限长序列的DTFT到DFT 从DFS到DFT DFT的性质 * 1、从有限长序列的DTFT到DFT 非周期信号的频谱都是频率的连续函数，无法用计算机进行计算。 离散信号的DTFT，它是?的连续周期函数，尽管在理论上有重要意义，但在计算机上实现有困难。为此，需要一种时域和频域上都是离散的傅里叶变换对，实现计算机的快速计算，这就是离散傅里叶变换 DFT。 * 能量有限、时间长度为L的有限长序列的DTFT为 频率采样点数N已知，2π/N为定数 N点DFT是有限长序列（L≤N)的DTFT的N点均匀取样值，也就是非周期序列频谱的样值。 频率离散化 * 2、从DFS到DFT 为了计算的方便，通常将1/N移到 中，而且二者所具有的物理意义和性质都相同 DFS: * 2、从DFS到DFT 设 , 令 x(n)、X(k)分别称作 、 的主值 DFT IDFT DFT又可看作以有限长序列x(n)为一个周期，进行周期延拓后所形成的周期序列xp(n)的离散频谱 RN(n)为矩形序列 * DFS DFT * DFT小结 DFT 是 DFS 的主值序列 DFS 是严格按傅立叶分析的概念得来的 DFT 只是一种借用形式，一种算法 用DFT 计算信号的频谱时 采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率 对周期信号要取一个整周期 * 3、DFT的性质 线性 对称性 圆周位移 圆周卷积 * (1) 线性 若 那么 如果x1(n)、x2(n)长度不同，长度短的序列要补零，使它与另一序列长度相同 * (2)对称性 若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性： 若x(n)为虚序列，则X(k)具有共轭反对称性： (N-k)modN 表示“N－k对N取模”，即：如果N－k写成N-k=qN+l，q、l为整数，