信号分析与处理连续信号的拉普拉斯变换分析.ppt

* 二、信号的复频域分析 拉普拉斯变换的几何表示 拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系 由零极点图对傅立叶变换进行几何求解 * 1、拉普拉斯变换的几何表示 如果信号x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，则其拉普拉斯变换可表示为 如果N(s)为Xb(s)的m次分子多项式，有m个根zj，D(s)为n次分母多项式，有n个根pi Xb(s)的零点 Xb(s)的极点 * 1、拉普拉斯变换的几何表示 零极点图：如果在s平面上分别以“。”和“×”标出Xb(s)的零点和极点的位置，就得出的Xb(s)零极点图。 在的零极点图中，标出了Xb(s)的收敛域后，就构成了拉普拉斯变换的几何表示，它除去可能相差一个常数因子外，和有理拉普拉斯变换一一对应，可以完全表征一个信号的拉普拉斯变换，进而表征这个信号的基本属性。 * 2、拉氏变换与傅氏变换的关系 因果 乘衰减因子 * 收敛域包含jω轴 。只要将Xb(s)中的s代以jω ，即为信号的傅立叶变换 收敛域不包含jω轴。信号的傅立叶变换不存在，不能用将Xb(s)中s代以jω求傅立叶变换。 收敛域的收敛边界位于jω轴上。信号的拉普拉斯变换为Xb(s)，则其傅立叶变换为 拉普拉斯变换和傅立叶变换的根本区别在于变换的讨论区域不同，前者为s平面中的整个收敛区域，后者只是jω轴 * 收敛域包含jω轴 * 收敛域不包含jω轴 傅氏变换不存在，拉氏变换存在 * 收敛域的收敛边界位于jω轴上 存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用 ，要包含奇异函数项。 K1=1 * 3、由零极点图对傅立叶变换进行几何求值 如何由信号拉普拉斯变换的零极点图求解信号的傅立叶变换？ * * 第三节 连续信号的拉普拉斯变换分析 拉普拉斯变换 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛域 拉普拉斯变换的性质 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换 单边拉普拉斯变换 信号的复频域分析 拉普拉斯变换的几何表示 拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系 由零极点图对傅立叶变换进行几何求解 * 一、拉普拉斯变换1、从傅立叶变换到拉普拉斯变换 有几种情况不满足狄里赫利条件： 指数增长信号 功率型周期信号 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件 * 象函数 正LT 原函数 逆LT FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度 双边拉普拉斯变换 * 2、拉普拉斯变换的收敛域 为指数型衰减因子，它至多能使指数增长型函数满足绝对可积条件，或满足 (2-111) 有些函数，如 、 等，它们随t的增长速率比 的衰减速度快，这些函数乘上衰减因子后仍不满足绝对可积条件，它们的拉普拉斯变换便不存在. 即使是乘上衰减因子后能满足绝对可积条件，也存在一个σ的取值问题。 * 2、拉普拉斯变换的收敛域 乘上衰减因子后， 能否满足绝对可积条件 取决于信号x(t)的性质，也取决于σ的取值。把能使信号的拉普拉斯变换Xb(s)存在的s值的范围称为信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域，记为ROC。 * 双边拉氏变换收敛域 * 例1：求右边信号 的拉普拉斯变换及其收敛域。 解： 由拉普拉斯变换定义式可知 上式积分只有在σ－1时收敛，这时 收敛域表示在以σ轴为横轴、 jω轴为纵轴的平面上. S+1 = σ+1＋ jω * * 收敛，存在双边拉氏变换 没有收敛域。不存在双边拉氏变换 * 2、拉普拉斯变换的收敛域 连续信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域的边界是s平面上平行于jω轴的直线。 右边信号x(t)u(t-t0)的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域具有σσ0形式，即收敛域具有左边界σ0 。 左边信号x(t)u(-t+t0)的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域具有右边界σ0 。 双边信号的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域必为平面上具有左边界和右边界的带状区域。 如果时限信号的拉普拉斯变换存在，则其收敛域必为整个s平面。 * 3、拉氏变换的基本性质（1） 线性 微分 积分 时移 频移 * 3、拉氏变换的基本性质（2） 尺度变换 终值定理 卷积定理 初值定理 * 例：周期信号的拉氏变换 第一周期的拉氏变换 利用时移特性 利用无穷级数求和 * 4、常用信号的拉氏变换 * 5、拉普拉斯反变换 部分分式法：将Xb(s)展开为部分分式，再求解x(t) 留数法 * 例：求