第一章 线性代数 行列式.ppt

　　评注　本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的． 练习 2. (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形或下三角形行列式，从而算得行列式的值． 三、小结 行列式的性质 二、行列式按任一行（列）展开 定理1：n阶行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即 引理: 一个n阶行列式,如果其中第i行(或第j列)所有元素除aij 外都为零, 则这个n阶行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即 证 当 位于第一行第一列时, 定理的证明： 推论：n阶行列式D中的任意一行(列)的各元素与另一行(列)的相应元素的代数余子式的乘积之和为零。即当i? j时，有 及 关于代数余子式的重要性质总结如下 例5：计算行列式 解： 例7 计算 例9.证明范德蒙行列式： 其中记号 表示全体同类因子的乘积。 证明：用数学归纳法 例3. 计算三角行列式 = ? 例4. 证明 §2 行列式的基本性质与计算 一、行列式的基本性质 记 行列式 或 称为 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 又例如 推论1：若行列式有一行（列）所有元素为零，则此行列式为零. 推论2: 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零. 证：将相同的两行交换，由性质2,就有－D＝D，故D＝0. 证：当第一行元素为零时，由定义D＝0. 如果第i行元素为零时，可与第一行交换，所得行列式为零，由性质2，知D＝0. 则有 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,即 性质3: 当i1时，把第i行与第一行互换， 再按上面的办法把行列式成两个 行列式之和，然后再把这两个行 列式的第i行与第一行互换，即证. 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。即 即行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k， 等于用数k乘此行列式. 性质4: 若行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式等于零。 推论3: 证:由性质4与推论2易得. 性质5:把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 证:由性质3,性质4及推论2可以直接得到. 计算行列式常用方法：利用性质5把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值． 例1 例2 计算n 阶行列式 解 将第 列都加到第一列得 例3：证明 证： 左边 =右边 练习1　计算 练习2 计算 解 练习1　计算 提取第一列的公因子，得 * 线性代数 刘二根主编 江西高校出版社 本学期教学安排 第一章 n 阶行列式 第二章 n维向量 第三章 矩 阵 第四章 线性方程组 第五章 相似矩阵(部分) 本学期教学要求 1.认真听课,精神饱满,不迟到,不要睡觉. 2.按时完成作业,不要抄. 3.课后可以看一些参考书. 4.考前要认真复习. 5.平时成绩占40%,最后考试占60%. 第一章 n 阶行列式 §1 行列式的概念 §2 行列式的基本性质与计算 §3 克莱姆法则 §1 行列式的概念 1. 二、三阶行列式 2. n 阶行列式的定义 1. 二、三阶行列式 一、二阶行列式的引入 解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 定义1 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 因为二元线性方程组的解为 因为二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 则二元线性方程组的解可写为 例1 解 例2：计算 二、三阶行列式 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式 定义2 记 行标 .列标 三阶