等差数列前n项和典型例题.ppt

等差数列前n项和 第一课时 1+2+3+···+n=？ 【奇数项偶数项题组】第二课时 例4:等差数列{an}中 (1)共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求公差d； (2)前12项之和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d (3)前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项. (4)项数为2n+1，若所有奇数项的和为165，偶数项和为150，求n (5)S100=45，d=1/2，求a1+a3+a5+…+a99 【最值问题题组】 等差数列{an}中 (1) a10，a2003+a20040，a2003·a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（ ） (2) 若S19＞0，S20＜0，则S1a1，S2a2，…，S19a19中最大的项是（ ） (3) a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，使Sn＞0的n的最小值为（ ） (4) 已知|a3|=|a9|，d＜0，则使它的前n项和Sn取得最大值的自然数n等于（　　） (5) 公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为（　　） 性质应用 1、设数列{an}是项数为20的等差数列，公差d∈N+，且关于x的方程x2+2dx-4=0的两个实根x1、x2满足x1＜1＜x2，则数列{an}的偶数项之和减去奇数项之和的结果为（　　） 2、已知等差数列{an}中，前5项和S5=15，前6项和S6=21，则前11项和S11=（　　） 3、a1=﹣2008，S2007/2007﹣S2005/2005=2，求S2008 【3】已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇 数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项. 【解题提示】在等差数列{an}中，若共有2n+1项， 则S2n+1=（2n+1）an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）. 【解析】因为n为奇数，所以 所以n=13，所以 13·a7=S13=377，所以a7=29， 故所求的中间项为29. 第三课时【最值问题】 【典例】（12分）在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等于零的项. 【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得 25×17+ =25× …………………3分 解得d=-2，………………………………………………6分 ∴Sn=25n+ ×（-2）=-（n-13）2+169， ………9分 由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. ……12分 方法二：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分 ∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由 得 解得 ……………………9分 即 又n∈N* ∴当n=13时，Sn有最大值S13=13×25+ ×（-2） =169. …………………………………………12分 方法三：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分 由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0， 而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14， 故a13+a14=0 …………………………………………9分 ∵d=-2＜0,a1＞0,∴a13＞0,a14＜0. 故n=13时，Sn有最大值169. ……………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下： 【即时训练】在等差数列{an}中，a1=50，d=-0.6. （1）从第几项起以后各项均小于零？ （2）求此数列前n项和的最大值. 【解题提示】（１）实质上是解一个不等式，但要注意 ｎ为正整数；（２）转化为求二次函数的最大值的问题． 【解析】（1）∵a1=50，d=-0.6, ∴an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6. 令-0.6n+50.6≤0，则n≥ ≈84.3. 由n∈N*,故当n≥85时，an＜0，即从第85项起以后各项均小于0. (2)方法一：∵a1=50＞0，d=-0.6＜0， 由（1）知a84＞0，a85＜0， ∴S1＜S2＜S3＜…＜S84，且S84＞S85＞S86＞…. ∴（Sn）max=S84=50×84+