线性代数-第一章-行列式.ppt

第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §5 行列式的性质 例9 证明 证 例10 解1 把 D2n 中的第 2n 行依次与第 2n-1 行、… 、第 2 行对调（作 2n-2 次相邻对换），再把第 2n 列依次与第 2n-1列、… 、第 2列对调，得 由例9 的结果，有 ( 解2在§6 ) 在 n 阶行列式 det ( ai j ) 中，把元素 aij 所在的第 ai j 的余子式， 记成 Mi j ，即 i 行和第 j 列划去, 剩下的 n ? 1 阶行列式，称为元素 §6 行列式按行（列）展开 并称 Ai j = ( ?1 ) i+j Mi j 为元素 ai j 的代数余子式. 例如，三阶行列式 中元素 a23 的余子式为 元素 a23 的代数余子式为 引理 在行列式 D 中，如果它的第 i 行中除 aij 外其 余元素都为0, 即 那么 D = ai j Ai j . 证 把 D 的第 i 行依次与第 i - 1 行、第 i - 2 行、 … 、第 1 行对调（作 i - 1 次相邻对换），再把第 j 列依次与第 j - 1列、第 j - 2列、… 、第 1列对调（作 j - 1 次相邻对换），得 所以引理成立. （由例9 的结果可得） 定理3 （行列式按行（列）展开法则） 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其 证 因为 或 对应的代数余子式乘积之和，即 椐引理，就得到 类似地可得 利用行列式按行（列）展开法则计算例6 ( 降阶法 ) 例 11 计算四阶行列式 解 按第 1 列展开，有 例12 计算四阶行列式 解 按第一行展开，有 对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得 解2 按第一行展开，有 一般情况，（即例10） 以此作递推公式，即可得 证 用数学归纳法 例13 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 对 n 阶范德蒙行列式，从第 n 行开始，后行减去前行的 x1 倍 , 有 n-1阶范德蒙德行列式 要牢记范德蒙行列式的形式和结果,利用它计算行列式. 例14 例15 例16 计算 行列式 解 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 由定理3，还可得下述重要推论： 或 同理 相同 关于代数余子式的重要性质 例17 求第一行各元素的代数余子式之和 解 因为 所以 例18 设 考虑 n 元线性方程组 与二、三元线性方程组相类似，n 元线性方程组的解也可用行列式表示. § 7 Cramer 法则 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 为了进一步讨论方程组的解与未知量 的系数和常数项之间的关系，引入 二阶行列式 则二元线性方程组的解可表示为 注意 分母 D 是由方程组的系数所确定的二阶行列式(称为系数行列式). 若记 三阶行列式 进而,对三元一次线性方程组,引入 ——对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 三阶行列式的计算方法 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 则三元线性方程组的解可表示为: 若记 把n个不同的元素排成一列，叫做这 n个元素的 全排列 （简称排列). n个不同的自然数，规定由小到大为 标准次序. 在n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后 次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的 排列叫做偶排列。 §2 全排列及其逆序数 逆序数的计算方法: 考虑 pi ( i = 1, 2, …, n ), 如果比 pi 大的且排在 pi 前 面的元素有 ti 个, 就说这个元素的逆序数是 ti . 全体元素的逆序数之总和就是这个排列的逆序数: