线性代数第五章相似矩阵及二次型第一节向量的内积.ppt

第 五 章 相似矩阵及二次型 讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题. 本章讨论在理论上和实际应用上都非常重 要的矩阵特征值问题, 并利用特征值的有关理论, 内积的定义 主要内容 内积的性质 向量的长度和夹角 第 一 节 向量的内积 正交向量组的性质 正交基与规范正交基 正交矩阵 正交变换 定义1 设有 n 维向量 令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积. 一、内积的定义 内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时，有 [x, y] = xTy . （1） [x, y] = [y, x]; （2） [?x, y] = ?[x, y]; （3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z]; （4） [x, x] ≥ 0, 且当 x ? 0 时有 [x, x] 0. 下列性质： 二、内积的性质 设 x, y, z 为 n 维向量，? 为实数，则内积有 在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 度和夹角. 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n ( x1, x2, x3 ) · (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 . 且在直角坐标系中，有 x · y = |x| |y| cos? , 三、向量的长度和夹角 1. 长度的定义 定义2 令 || x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ). 向量的长度具有下列性质: 2. 长度的性质 (1) 非负性 当 x ? 0 时, || x || 0; 当 x = 0 时, || x || = 0. (2) 齐次性 || ?x || = |?| || x || ; (3) 三角不等式 || x + y || ≤ || x || + || y ||. 当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量. 3. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式 [ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] , 由此可得 (当 || x || || y || ? 0 时), 于是有下面的定义: 定义 当 || x || ? 0, || y || ? 0 时, 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 量正交. x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若 1. 正交向量组的定义 定义 由两两正交的非零向量构成的向量 两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , ··· , ar 线性无关. 定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , ··· , ar 是一组 2. 正交向量组的性质 组称为正交向量组. 四、正交向量组的性质 例 1 已知 R4 中三个两两正交的向量： 试求一个非零向量 a4 , 使 a1, a2, a3, a4 两两正交. 1. 定义 定义 设 a1 , a2 , ··· , ar 是向量空间 V 正交基. 且都是单位向量, 则称 e1, ··· , er 是 V 的一个规范 间V( V ? Rn ) 的一个基, 如果 e1 , ··· , er 两两正交, 定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , ··· , er 是向量空 则称 a1, a2 , ··· , ar 是 V 的一个正交基. ( V ? Rn )的一个基, 如果 a1 , a2 , ··· , ar 两两正交, 五、正交基与规范正交基 例 2 设 是例 1 中所求正交向量组, 试求 R4 的一个规范正 交基. 2. 用规范正交基表示向量 即 ki = eiT a = [a, ei]. 得 eiT a = k