1978年全国统一高考数学试卷及解析.doc

1978年全国统一高考数学试卷（附加题） 一、解答题（共7小题，满分100分） 1、（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3． （2）求， （3）求函数y=的定义域． （4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积． （5）计算：的值． 2、已知两数x1，x2满足下列条件： （1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项； （2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和． 求根为的方程． 3、已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：． 4、（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α． 求证：．，． 5、设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证： （1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方． （2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0． 6、已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0 7、已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点． （1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图． （2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式． （3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．  答案与评分标准 一、解答题（共7小题，满分100分） 1、（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3． （2）求， （3）求函数y=的定义域． （4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积． （5）计算：的值． 考点：对数函数的定义域；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题：计算题。 分析：（1） 把（x﹣y）看做一个整体，整式即：（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3 （2）应用特殊角的三角函数值． （3）分母不为0，对数的真数大于0． （4）先求出圆锥的高，代入体积公式计算． （5）使用分数指数幂的运算法则化简每一项，然后合并同类项． 解答：解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3） （2）原式=﹣0+1﹣= （3）∵25﹣5x＞0，且x+1≠0．∴x＜2且x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）． （4） （5）原式=10?（﹣2 ）﹣+30? =10﹣20﹣10+30 =﹣20+30?=﹣20+ 点评：（1）体现整体的数学思想． （2）记住特殊角的三角函数值． （3）分式的分母不为0，对数的真数大于0． （4）直接使用圆锥的体积公式． （5）分数指数幂的运算法则的使用．本题的最后一项可能不对． 2、已知两数x1，x2满足下列条件： （1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项； （2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和． 求根为的方程． 考点：利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根的分布与系数的关系。 分析：1由等差数列通项公式求出第二十项2由等比数列求前n项和求出前四项和3接下来可以求解x1，x2．也可利用技巧直接求出两根之和两根之积． 解答：解：x1+x2=39 ①，x1x2=﹣40 ②，故得：1/x1+1/x2= 由②式得.= 由初中所学一元二次函数根与系数关系得所求方程为：40x2+39x﹣1=0． 点评：本题考查数列通项公式和前n项和公式以及一元二次方程根与系数关系 3、已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：． 考点：相似三角形的判定。 专题：证明题。 分析：由AD是△ABC的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似，可得三角形的面积比与相似比的平方的关系，再结合三角形面积公式即可证得． 解答：证：因为AD是△ABC的外接圆的切线， 所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD ∴ 作AE⊥BD于点E， 则 故得证． 点评：本题主要考查相似三角形的判定，在圆中找相等的角，依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等相等，再根据相似三角形的判定即可得到． 4、（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α． 求证：．，． 考点：三角形中的几何计算。 专题：证明题。 分析：由题意及图形作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中利用正切的定义即可；同理，过N作NF