2011年广东省高考数学一轮课时训练：2.4.1 数量积的物理背景及其含义（新人教必修4）及解析.doc

2011年广东省高考数学一轮课时训练：2.4.1 数量积的物理背景及其含义（新人教必修4） 一、选择题（共2小题，每小题4分，满分8分） 1、设、、为非零向量，下列等恒成立的个数有（　　） ①（?）?=（?）?；②[（?）?﹣（?）?]?=0； ③2﹣2=（+）（﹣）；④+=（+）（﹣?+）． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 考点：平面向量的综合题。 专题：阅读型。 分析：在（?）?=（?）?中，（?）与（?）是实数，而，方向可能不同，故①式不一定成立；由向量的数量积运算法则，可验证②式成立，同理，也可验证③④成立． 解答：解：（1）设（?）?=λ，（?）?=λ（其中λ，λ∈R），，方向可能不同，故①式不一定成立； （2）∵[（?）?﹣（?）?]?=（?）?（?）﹣（?）?（?）=0，∴②式恒成立； （3）∵（+）（﹣）=﹣?+?﹣=﹣，∴③式恒成立； （4）∵（+）（﹣?+）=﹣??++?﹣??+=+，∴④式恒成立； 故选C． 点评：本题考查了平面向量数量积的定义，数量积的运算法则及其应用，是基础题． 2、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=1，∠B=30°，则向量在向量上的投影等于（　　） A、1 B、﹣1 C、 D、 考点：向量的投影。 专题：常规题型；计算题。 分析：先明确两向量的夹角为∠A，再得到向量的模，最后用投影的定义求解． 解答：解：根据题意：∠A=120°， ∴在向量上的投影． 故选D 点评：本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用． 二、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分） 3、若向量，满足||=，||=1，?（+）=1，则向量，的夹角的大小为． 考点：数量积表示两个向量的夹角。 专题：计算题。 分析：先由已知条件求出?=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值． 解答：解：设，的夹角为θ． ∵?（+）=1，∴+?=1， 又∵||=，∴?=﹣1． ∴cosθ===﹣． 又∵0≤θ≤π，∴θ=． 故答案为． 点评：本题考查两个向量的夹角公式，以及根据三角函数值求教的大小． 4、设向量、、满足++=，（﹣）⊥，⊥，||=1，则||=． 考点：平面向量数量积的运算；向量的模。 专题：计算题。 分析：根据题意求出，利用向量垂直的等价条件即数量积为0，再由数量积的运算求出向量的模． 解答：解：由++=可得，=﹣（+）， ∵（﹣）⊥，∴（﹣）?[﹣（+）]=0，∴2﹣2=0， 又∵||=1，∴||=1， ∵⊥，∴2=[﹣（+）]2=2+2?+2=2，即． 故答案为：． 点评：本题主要考察了向量垂直的等价条件应用，根据题意和数量积的运算进行求解，也是常考察的题型，难度不大，注意向量之间的关系以及数量积和向量模的转换． 三、解答题（共1小题，满分0分） 5、已知两个向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a，b的夹角为60°，m=2xa+7b，n=a+xb，x∈R． （1）若m，n的夹角为钝角，求x的取值范围； （2）设函数f（x）=m?n，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值． 考点：平面向量数量积的运算；函数最值的应用。 分析：（1）先确定a?b的值，再由m，n的夹角为钝角可知m?n＜0，代入即可解题． （2）根据（1）中m?n的值确定函数f（x）的解析式，再根据二次函数的单调性求出在[﹣1，1]上的最大值与最小值． 解答：解：（1）a?b=|a||b|cos60°=2×1×cos60°=1，m，n的夹角为钝角，得m?n＜0， ∴m?n=（2xa+7b）?（a+xb）=2xa2+2a?b+2x2a?b+7b2 =8x+2x2+7+7x =2x2+15x+7＜0 解得， ∴x的取值范围是； （2）由（1）得，f（x）在[﹣1，1]上单调递增， ∴f（x）min=f（﹣1）=2﹣15+7=﹣1，f（x）max=f（1）=2+15+7=24． 点评：本题主要考查向量的点乘运算和二次函数的最值问题．属基础题．