清华大学自主招生数学试卷（理科）及解析.doc

2009年清华大学自主招生数学试卷（理科） 一、解答题（共9小题，满分0分） 1、设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求． 考点：极限及其运算；等比数列的前n项和。 专题：计算题。 分析：（1）把式子分母有理化得到式子为，估算出的范围，确定出整数部分a的值，即可得到b的值； （2）把a和b代入求出即可； （3）求出数列b，b2，b3，…，bn的前n项公式代入求出极限即可． 解答：解：（1）因为2＜＜3，而设m==则得到2＜2m﹣3＜3，求出2.5＜m＜3 则a=2，b=m﹣2=； （2）把a=2，b=m﹣2=代入得：=4++=5； （3）数列b，b2，b3，…，bn为首项为b，公差为b的等比数列，因为b为小数部分，所以0＜b＜1 则前n项和为，则==0 点评：考查学生求等比数列前n项和的能力，以及理解极限定义，运算极限的能力． 2、已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值． 考点：基本不等式在最值问题中的应用。 专题：计算题。 分析：首先分析题目已知不等式对任意x、y的正实数恒成立．故对不等式左边展开后，利用基本不等式得恒成立的满足条件≥9，然后解不等式，可求a值． 解答：解：因为， 要使原不等式恒成立，则只需≥9， 即 所以正数a的最小值是4． 点评：此题主要考查基本不等式的应用，在利用基本不等式求参数的值或范围时，只需求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件即可． 3、请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列． 考点：等差数列；等差关系的确定。 分析：根据题意，已知公差为8，则这三个数中就有其中一个能被3整除，而被3整除的质数只有3，故其中一个数为3，且其是第一个数，进而可得答案． 解答：解：根据题意，已知公差为8，有8=3×2+2，则这三个数中就有其中一个能被3整除， 而被3整除的质数只有3，故其中一个数为3，且其是第一个数， 又有公差为8，则这三个数为3，11，19； 所以是3，11，19． 点评：本题考查等差数列的判断，涉及质数、整除的性质，有一定难度． 4、已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列． 考点：等比关系的确定；椭圆的应用。 专题：证明题。 分析：根据题意设过左顶点的直线解析式为：y﹣0=k（x+a）则与L平行的直线为y=kx分别求出Q、R、P点坐标，表示出AQ，OP，AR．只需证2OP2=AQ?AR即可得证． 解答：解：设过左顶点A的直线L解析式为：y﹣0=k（x+a）即y=kx+ka，与y轴交点R坐标为（0，ka）； AR=； 联立 得到AQ=2； 则过原点的直线为y=kx，与椭圆的交点为P， 联立 得： 所以P（，k），OP=． 得：2OP2=AQ?AR 故AQ，，AR成等比数列． 点评：考查学生运用等比数列性质的能力，以及应用椭圆性质的能力． 5、已知sint+cost=1，设s=cost+isint，求f（s）=1+s+s2+…sn． 考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算。 专题：计算题。 分析：本题考察的知识点是复数的运算，所要用到的数学思想是分类讨论思想，由sint+cost=1，我们易得：cost=0，sint=1或cost=1，sint=0，然后分类讨论两种情况，最后对各种进行总结，即可得到答案． 解答：解：sint+cost=1 ∴（sint+cost）2=1+2sint?cost=1 ∴2sint?cost=sin2t=0 则cost=0，sint=1或cost=1，sint=0， 当cost=0，sint=1时，s=cost+isint=i 则f（s）=1+s+s2+…sn= 当cost=1，sint=0时，s=cost+isint=1 则f（s）=1+s+s2+…sn=n+1 点评：本题中第一情况主要考察了复数单位i的运算，要注意： 6、随机挑选一个三位数I， （1）求I含有因子5的概率； （2）求I中恰有两个数码相等的概率． 考点：等可能事件的概率。 专题：计算题。 分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是三位数一共有999﹣100+1=900个，满足条件的事件是I中含有因子5即I是5的倍数，用组合数表示出来求出概率． （2） 可以从构造一个三位数的角度来考虑，即任选三个数码构成三位数，按照相同的数码是否是0分情况，分为相同的数码是0，相同的数码不是0，分类计数结果．最后求出概率． 解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型， ∵试验包含的所有事件是三位数一共有999﹣100+1=900个， 满足条件的事件是I中含有因子5即I是5的倍数， 其中5的倍数有C91C101C21=180个 ∴概率P==0.2 （2