2009-2010学年寒假06及解析.doc

2009-2010学年寒假数学 一、解答题（共6小题，满分17分） 1、△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c． （1）求角A的大小； （2）已知当x∈[，]时，函数f（x）=cos2x+asinx的最大值为3，求△ABC的面积． 考点：正弦定理；三角函数的最值。 专题：计算题。 分析：（1）用题目中所给的条件建立方程，通过消元得到关于角A的等式，利用它求角A的砰然函数值来，进而求出角． （2）题目中知道了最大值为3，利用fmax=3建立相关的方程，此处要用二次函数在某一个确定区间上的最值问题的相关知识来最值为3的条件转化为参数a的方程来求值，进而再由面积公式求出三角形的面积， 解答：解：（1）因为B=60°，所以A+C=120°，C=120°﹣A ∵a=（﹣1）c，由正弦定理可得：sinA=（﹣1）sinC sinA=（﹣1）sin（120°﹣A）=（﹣1）（sin120°cosA﹣cos120°sinA） =（﹣1）（cosA+sinA） 整理得，tanA=1 ∴A=45°． （2）f（x）=1﹣2sin2x+asinx，令t=sinx， ∵x∈[，]， ∴t∈[，1] f（x）=g（t）=﹣2t2+at+1=﹣2（t﹣）2++1，t∈[，1] 若＜，即a＜2 fmax=g（）=a+=3，，故a=5（舍去） 若≤≤1即2≤a≤4， fmax=g（）=+1=3，得a=3 若＞1，即a＞4， fmax=g（）=1﹣2+a=a﹣1=3，得a=4（舍去） 故a=4，S△ABC=6+2． 点评：本题考察了正弦定理，角的变换，三角转化为函数，利用函数的相关知识得到关于最值3的方程，求参数求最值，方法灵活，技巧性很强，是一道能训练答题都灵活答题能力的好题 2、如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2． （1）若点E、F分别在棱PB、AD上，且=4，=4，求证：EF⊥平面PBC； （2）若点G在线段PA上，且三棱锥G﹣PBC的体积为，试求线段PG的长． 考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题：证明题；综合题。 分析：（1）建立空间直角坐标系，求出向量EF和向量BC及PB，利用数量积即可证明EF⊥平面PBC； （2）求出平面的法向量，利用共线向量求出点到平面的距离的表达式，由三棱锥G﹣PBC的体积为，求线段PG的长． 解答：解：（1）以点D为坐标原点，DA为x轴正方向， DC为y轴正方向建立空间直角坐标系． 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2）， 因为，， 所以F，E， 则，，． ，， 即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC． 法二（1），可设， 所以向量的坐标为（λ，0，﹣2λ）， 平面PBC的法向量为． ， 即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC． （2），可设， 所以向量的坐标为（λ，0，﹣2λ）， 平面PBC的法向量为． 点G到平面PCE的距离d===． △PBC中，BC=1，PB=，PB=， 所以． 三棱锥G﹣PBC的体积V==， ∴． 此时向量的坐标为，， 即线段PG的长为． 点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题． 3、某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成=10%），售出商品数量就增加x成，要求售价不能低于成本价． （1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y=f（X），并写出定义域； （2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的取值范围． 考点：根据实际问题选择函数类型。 专题：应用题。 分析：（1）根据营业额=售价×售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出x的取值范围； （2）根据题意，列出不等式，求解即可． 解答：解：（1）依题意，y=100（1﹣）×100（1+x）； 又售价不能低于成本价，所以100（1﹣）﹣80≥0，解得0≤x≤2． 所以y=f（x）=20（10﹣x）（50+8x），定义域为[0，2]． （2）由题意得20（10﹣x）（50+8x）≥10260，化简得：8x2﹣30x+13≤0， 解得2≤x≤． ∴x的取值范围是≤x≤2． 点评：本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键． 4、（2007?广东）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10． （1）求圆C的方程；