2009-2010学年高三寒假作业13：选修系列2及解析.doc

2009-2010学年高三寒假作业13：选修系列2 一、解答题（共8小题，满分120分） 1、已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC与BD交于E点，BD=2，BC=CD． （1）取PD中点F，求证：PB∥平面AFC． （2）求二面角A﹣PB﹣E的余弦值． 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）利用空间坐标系解．先以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，欲证PB∥平面ACF，只须证PB∥EF，分别求出向量的坐标后，结合向量的线性运算即可进行判断． （2）欲求二面角A﹣PB﹣E的余弦值，只须求出平面PAB、平面PBE的法向量的夹角，再结合图形求其补角即得． 解答：解：以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ∵PA=AB=AD=BD=2，BC=CD， ∴△ABC≌△ADC， ∴△ABD是等边三角形，且E是BD中点，AC⊥BD， 则A（0，0，0）、、、、P（0，0，2）、 （1）， ∴， ∴PB∥EF， ∴PB∥平面ACF． （2）设平面PAB、平面PBE的法向量分别为， 则的夹角的补角就是二面角A﹣PB﹣E的平面角． ∵，，， 由及 得，． ∴， ∴二面角A﹣PB﹣E的余弦值为． 点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及直线与平面平行的判定等知识，还考查了空间想象力、空间向量的运算．属于基础题． 2、如图所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角． （1）证明：BE⊥C D′； （2）求二面角D′﹣BC﹣E的正切值． 考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）欲证BE⊥CD′，先证BE⊥面D′EC，欲证线面垂直先证线线垂直，根据线面垂直的判定定理可证得； （2）先以EB，EC为x、y轴，过E垂直平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，设出平面D′BC的法向量，求出两平面的法向量的所成角的余弦值，再求出其正切值． 解答：解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点， ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形， 易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC． 又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC， ∴BE⊥面D′EC，又CD′?面D′EC， ∴BE⊥CD′． （2）如图以EB，EC为x、y轴，过E垂直平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系． 则B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，），， 设平面BEC的法向量为，平面D′BC的法向量为，， 取， ∴． tan＜，＞=， ∴二面角D′﹣BC﹣E的正切值为． 点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 3、某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动． （1）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率； （2）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？ 考点：等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差；组合及组合数公式。 专题：计算题。 分析：（1）求互斥事件的概率一般有两种方法，直接法和间接法，本小题用用间接法比较简便．事件“至少有一种是日用商品”的对立事件是“商品中没有日用商品”，用公式，即运用逆向思维． （2）欲求m的值，需要先求奖金总额的期望值，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可． 解答：解：（1）从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品一共有C73种选法，选出的3种商品中没有日用商品的选法有C43种， 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为． （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量， 设为X，其所有可能值为0，m，2m，3m． X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖， 所以， 同理可得，，． 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是． 要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额， 因此应有1.5m≤150， 所以m≤100． 点评：本题考查古典概型以及运用互斥事件求概率的方法，同时考查期望的求法． 4、某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人