2008年安徽省芜湖市安师大附中科技特长班招生考试数学试卷及解析.doc

2008年安徽省芜湖市安师大附中科技特长班招生考试数学试卷 一、填空题（每题8分，共56分） 1、满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是　﹣2≤x≤3　． 考点：含绝对值符号的一元一次方程。 专题：分类讨论。 分析：分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围． 解答：解：从三种情况考虑： 第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x+3=5，解得：x=3； 第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立； 第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2； 所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3． 点评：解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大． 2、方程x2﹣x+a3=0的根中，一个根是另一个根的平方，则a=或﹣． 考点：根与系数的关系。 分析：根据题意，方程的一根为b，则另一根为b2，由根与系数的关系可得b+b2=，b?b2=a3，解方程组可得a的值． 解答：解：设方程的一根为b，则另一根为b2， ∵b?b2=a3∴a=b ∵b+b2=∴b=或 ∴a=b=或﹣ 点评：认真审题，找准条件设好未知数可以提高解题速度．解方程组时要注意验根，要保证方程的根符合题意． 3、已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为　﹣． 考点：解三元一次方程组；解一元一次不等式。 分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值． 解答：解：由题意可得， 解得a=﹣3，b=7﹣，c=， 由于a，b，c是三个非负实数， ∴a≥0，b≥0，c≥0， ∴﹣≥m≥﹣． 所以m最小值=﹣． 故本题答案为：﹣． 点评：本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法． 4、如图所示：设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=　1　． 考点：平行线分线段成比例；三角形的重心；梯形中位线定理。 分析：根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案． 解答：解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则ME=MF， 则根据梯形的中位线定理得： ∵MD是梯形的中位线， ∴BE+CF=2MD， ∴+==+===1． 点评：此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理． 5、在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=x2+8x﹣的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有　180　个． 考点：二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征。 专题：综合题。 分析：由函数表达式可以求出与x轴坐标，估算一下其值，再根据顶点坐标公式求出顶点坐标，则根据x轴整点变化找出整点个数，问题就解决了． 解答：解：由二次函数y=﹣x2+8x得△=== 与x轴横坐标x=可得﹣10＜x＜2，红色区域内部的点y≤0， 当x=1，y=9﹣=则整点为（1，0）只有1个； 当x=0，y=﹣＜﹣10，则y≤0的整点有0到﹣9共10个； 同样当x=﹣1，有17个；当x=﹣2，有22个； 当x=﹣3，有25个；当x=﹣4，有26个； 当x=﹣5，有25个； 当x=﹣6，有16个； 当x=﹣7，有17个； 当x=﹣8，有10个； 当x=﹣9，有1个； ∴一共有180个． 点评：此题主要考查学生的估算能力，只要求出坐标问题就很容易了． 6、如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=　1+． 考点：三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质。 分析：连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长； 过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长． 解答：解：连接AB，则AB为⊙M的直径． Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°， ∴OB=OA=． 过B作BD⊥OC于D． Rt△OBD中，∠COB=45°， 则OD=BD=OB=． Rt△BCD中，∠OCB=60°， 则CD=BD=1． ∴OC=CD+OD=1+． 点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求