巧用列表妙解概率题.doc

恰用列表求解一类概率题 山东省嘉祥县第二中学（272404）任宪伟 本文已发表于《新高考》（高二）2009年第10期 许多同学在解决含有两个参变量的概率问题时总感觉分析过程相当繁杂、解题思路比较迷茫、求解起来无从下手.恰用列表可使含有两个参变量的取值情况一一呈现出来，从而使得所求概率问题简便易行.为此举几例，凭借列表进行求解，以飨读者： 例1.现有分别写有数字1，2，3，4，5的5张白色卡片、5张黄色卡片、5张红色卡片.每次试验抽一张卡片，对作如下规定：若取到一张写有数字的白色的卡片，则得分；若取到一张写有数字的黄色的卡片，则得分；若取到一张写有数字的红色的卡片，则得分. （Ⅰ）求得分为3分的概率； （Ⅱ）求得分大于3分的概率. 解析：设白色卡片、黄色卡片、红色卡片分别记作，则每次试验抽一张数字为的白、黄、红色卡片分别所得分为（）分、（）分、（）分，所有得分情况如下表： 由上表可知试验的基本事件总数为，得分取的值分别是对应的基本事件个数分别为. （Ⅰ）得分为3分的概率为； （Ⅱ）得分大于3分包含的基本事件的个数为，即得分大于3分的概率为. 注：也可以利用对立事件求解，事件“得分大于3分”的对立事件为“得分小于或等于3”，即. 例2. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回的先后抽得两张卡片的标号分别为，设为坐标原点，点的坐标为，记表示、两点间的距离. （Ⅰ）求取得最大值的概率； （Ⅱ）求取值概率最小时的点的坐标. 解析：由题意可得， 于是当分别取1，2，3时对应的的取值情况如下表： （Ⅰ）由上表可以看出当分别取1，2，3时对应的取值的基本事件总数为， 的最大值为包含2个基本事件，即取得最大值的概率为； （Ⅱ）借助表可以得出取不同值时的概率分别为： . 故当时，取值概率最小，即此时点的坐标为. 注：求解（Ⅱ）也可以直接从表中得知只有只有时只包含1个基本事件，即当且仅当当时，取值概率最小，即此时点的坐标为. 例3. 设二次函数，其中，. （Ⅰ）求满足条件的概率； （Ⅱ）若二次函数的对称轴在轴的左侧，求满足条件的概率. 解析：当时的取值情况如下表： （Ⅰ）由表可知当及时的取值共有30种情况，即基本事件总数为，其中满足条件包含的基本事件的个数为，故满足条件的概率为. （Ⅱ）由二次函数的对称轴在轴的左侧知其对称轴，即，则，或. 于是取不同值时的取值情况如下表： 从表可直接得出取不同值时的取值对应的基本事件总数为，其中满足条件包含基本事件的个数为，即所求的概率为. 注：求解（Ⅱ）时也可以利用（Ⅰ）中的表进行分析，只需利用（Ⅰ）中的，和所对应的表格即可. 例4. 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）． （Ⅰ）求方程有实根的概率； （Ⅱ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率． 解析：由和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数可知， 可根据方程的判别式为的符号（表中“”表示，“”表示，“”表示）来确定方程根的个数。先后两次出现的点数、取不同的值时判别式的所有情况如下表： （Ⅰ）从上表可以看出基本事件总数为，事件“方程有实根”包含的基本事件的个数为，故方程有实根的概率为； （Ⅱ）在先后两次出现的点数中有5的条件下，基本事件总数为，其中事件“方程有实根”包含的基本事件总数为，故方程有实根的概率为。 注：事实上，表中也可以计算出的具体值，但从解题上考虑无需计算出的具体值，只需判断出的符号即可. 巩固练习： 1. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A. B. C. D. 2. 设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上 的一个点，记“点落在直线上”为事件， 若事件的概率最大，则的所有可能值为（ ） A．3 B．4 C．2和5 D．3和4 3. 设有关于的一元二次方程．若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则方程有实根的概率为 ． 4. 一个均匀的正四面体的四个面上分别标有四个数字。现随机投掷两次，正四面体朝下的面上的数字分别为．在平面直角坐标系中，已知点，记点，则两点间的距离取得最大值或最小值的概率为 ． 5. 设二次函数，其中.若二次函数的对称轴在轴的右侧，则的概率为 ． 巩固练习答案： 1.A 2.D 3. 4. 5.