《信号与系统》讲义教案-第5章 连续时间信号与系统的复频域分析.doc

第5章 连续时间信号与系统的复频域分析 5.0 引言 通过前两章的学习我们已经看到，在信号与系统的研究中，傅里叶变换是一个强有力的分析工具，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。 　　傅里叶变换的理论基础是将信号分解为正弦指数信号，即和,基于这一原理，也可以将一个信号分解为复指数信号和，从而得到拉普拉斯变换和Z变换。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Z变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的许多方面,这主要表现在系统函数及其零极点的应用方面。 本章将介绍拉氏变换的基本内容，从下面的分析可以看出，拉氏变换分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它的特例。 5.1 双边拉普拉斯变换 5.1.1 双边拉普拉斯变换的定义 复指数信号是一切LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则系统对产生的响应是： 其中 当时，就是傅里叶变换。 下面给出拉普拉斯变换的定义：? (5.1) 称为的双边拉氏变换 ，其中。 若，则就是的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在或是在轴上的特例。? 由于 (5.2) 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的拉氏变换就是的傅里叶变换。只要有合适的存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这说明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。 5.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域 我们首先来看几个常用信号的例子。 例5.1??分析右边信号的拉普拉斯变换。 由拉普拉斯变换的定义 ，有 (5.3) 当时上式收敛，当时，的傅里叶变换存在：? (5.4) 显然，在时，使拉氏变换收敛的区域（如图所示），包括了即（轴）。 比较和，显然有： (5.5) 当时， 可知： ， (5.6) 图5.1??收敛域（例5.1） 图5.2??收敛域（例5.2） 例5.2 分析右边信号?的拉普拉斯变换。 由拉普拉斯变换的定义 ，有 ， (5.7) 将例5.1与例5.2进行比较，其拉氏变换的表达式完全相同，但收敛域不同，所以对应的原始信号也不同。可以看出当拉氏变换表达式完全相同时并不能唯一地确定原始信号，必须结合收敛域才能唯一确定一个原始信号。 由以上例子，总结如下： 1、拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。? 2、使拉氏变换积分收敛的那些复数 S 的集合，称为拉氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence），常用S平面的阴影部分表示。拉氏变换的 ROC 是非常重要的概念。? 3、不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。 4、只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。 5、如果拉氏变换的ROC包含轴，则有 。 (5.8) 5.1.3拉氏变换的几何表示：零极点图 ? 若是有理函数： ? (5.9) 我们把分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。将的全部零点（用“○”标示）和极点（用“×” 标示）表示在 S 平面上，就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个，最多与真实的相差一个因子M。因此，?用在S平面的零点和极点来表示，它结合收敛域给出了拉氏变换的完整描述。 例5.3??分析 的拉氏变换及收敛域。 其拉氏变换为 图5.3 对应的收敛域 图5.4??对应的收敛域 可见:拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。 求信号的拉氏变换及收敛域。 解： 零点： 极点： 图5.5 例5.4的