复变函数复习题 第4章级数.doc

第4章 级数 4.1 数列极限 4.1 设幂函数取的分支，则极限（ ）. （A）不存在 （B）1 （C） （D） 解 而 故 故 选（C）. 的充要条件是：. 4-2 极限（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 选（A）. 4-3 级数的收敛性为（ ）. （A）通项不趋于0 （B）通项趋于0，发散 （C）绝对收敛 （D）条件收敛 解 由，当为为；为为1，故此级数可分为两个交错级数： 实部为；虚部为，均条件收敛.故此级数条件收敛. 选（D）. 复数项级数收敛的充分必要条件是实部与虚部两个实数项级数皆收敛. 是不为0的复常数. 4-4 级数为（ ）. （A）通项不趋于0 （B）条件收敛 （C）通项趋于0但发散 （D）绝对收敛 解 由，故级数绝对收敛. 选（D）. 有界，但无界且与是同阶的无穷大量 4-5 级数收敛性为（ ）. （A）绝对收敛 （B）通项不趋于0 （C）通项趋于0但发散 （D）条件收敛 解 ，故此级数绝对收敛. 选（A）. 4.2 幂级数 检比法与检根法仍旧是复数项级数敛散性的重要判别法，因为它们判断的级数若收敛必为绝对收敛，故应用时取，（是的通项）. 这样，在应用时与实数项级数无本质区别. 4-6 幂级数的收敛半径为（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D） 解 由检比法，故收敛半径为1. 选（B）. 4-7 幂级数的收敛半径为（ ）. （A）5 （B） （C） （D） 解 ，故收敛半径为. 选（D）. 4-8 幂级数的收敛半径及和函数为（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 由得 故 选（C） 4-9 设，则（ ）. （A）0 （B） （C） （D） 解 因此， 选（D）. 4-10 设，则（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 故 选（B）. 4.3 泰勒级数 4-11 在点的泰勒展开式中，项的系数和级数的收敛半径是（ ）. （A）（0，1） （B） （C） （D） 解 只在内解析，故 选（B）. 4-12 已知证明解析，并求 解 由 故 于是 因此，解析，且，由此. 4-13 求在处的泰勒展开式. 解 4-14 求在处的泰勒展开式. 解 故 4-15 设，求 解 4.4 罗伦级数 4-16 的收敛区域为（ ）. (A) (B) (C) (D) 解 在中，令， 得 故当也即时收敛. 而 当 ，即时收敛. 故 的收敛区域为 选（C）. 4-17 设,则（ ）. （A）1 （B）-1 （C）0 （D）-2 解 故 选（B）. 4-18 设则（ ）. （A）1 （B）0 （C） （D）2 解 选（B）. 4-19 设，则（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 4-20 设，则（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 选（C）. 4-21 若，则（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 由 故 故 选（B）. 4-22 ，那么的充要条件是（