扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试数学试题.doc

扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试 数 学 试 题 （全卷满分160分，考试时间120分钟） 2016．5 注意事项： 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知集合，是整数集，则 ▲ ． 2．若复数满足（为虚数单位），则 ▲ ． 3．命题“”的否定 ▲ ． 4．已知中，，则边的长度为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是20， 则输入的x值是 ▲ ． 6．在区间内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ． 7．在三棱锥中，、、两两垂直，且，则三棱锥的体积为 ▲ ． 8．已知且为锐角，则 ▲ ． 9．在平面直角坐标系中，如果直线将圆平分，且不经过第四象限，那么的斜率的取值范围是 ▲ ． 10．已知等边中，若，，且，则实数的值为 ▲ ． 11．设双曲线的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ． 12．设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为 ▲ ． 13．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且（）．若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为 ▲ ． 14．已知函数在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 已知向量，，函数．函数的周期为4，且经过点． （1）求的值； （2）当时，求函数的最值． 16．（本小题满分14分） 在三棱锥P－SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且PABC． （1）求证：平面PSB平面ABCD； （2）若平面PAD平面，求证：． 17．（本小题满分14分） 某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百水笔的加工费为元（其中为常数，且）．设该工厂黑色水笔的出厂价为元/百支（），根据市场调查，日销售量与成反比例，当每百支水笔的出厂价为元时，日销售量为10万支． （1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润最大，并求的最大值． （2）日利润达到元才能保证工厂的盈利．若工厂在出厂价规定的范围内，则每百水笔的加工费最多为多少元？（精确到元） 18．（本小题满分16分） 已知椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交轴、轴于A、B两点上，且满足． （1）求证：线段AB的长是一定值； （2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率． 19．（本小题满分16分） 数列是公差为的等差数列，它的前项和记为，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于的正整数，使． （1）若，，，，求． （2）若，，试比较与的大小，并说明理由； （3）若，是否存在整数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分） 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，的最小值是，求的值； （3）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由． 数 学 试 题 （全卷满分40分，考试时间30分钟） 2016．5 21（B）．（本小题满分10分） 若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵的另一个特征值． 21（C）．（本小题满分10分） (与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，极轴与轴的非负半轴重合）中，圆的方程为．求的值． 22．（本小题满分10分） 长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本数据如下： 甲班 10 12 15 18 24 36 乙班 12 16 22 26 28 38 如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”． （1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个为“过度上网”的概率； （2）从甲班、乙班的本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分） 已知． （1）若，求中含项的