极限论-实数函数极限连续 第3章.doc

数列的极限 牛顿（Isaac Newton,1642-1727年）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-171617世纪后期创建了微积分方法，该方法在科学技术的许多领域得到了广泛的应用，取得了令人瞩目的成果。然而，当时这门新兴学科的理论基础很不完善，自身存在逻辑上的矛盾，这就引起了围绕着微积分的争论。 从十七世纪末期到十八世纪中期，在西欧各国围绕微积分基础问题开展了一场规模巨大的大辩论。历史上称之为“数学的第二次危机”。当时几乎所有的数学家、自然科学家，哲学家和一些神学家都发表了意见，其中既有学术观点的分歧，也有尖锐的哲学思想的冲突。 Augustin Louis Gauchy，1789-1857年）对微积分学的最主要的功绩是把纷乱的概念理出了一个头绪，将微积分学奠定在极限概念之上。柯西极限概念的叙述是：“若代表某变量的一串数无限地趋向某一个数值，其差可以变为而且保持小于任意给定的量，则该固定值称为这一串数值的极限。”他用变量的语言对极限概念的完美叙述，是牛顿和莱布尼兹在建立微积分之后将近一个半世纪而艰难迈出的重要的一步。柯西荣获“现代分析奠基人”的桂冠。但是还不能以此作为极限的数学定义，还有待于形式化。因为仅有这样叙述的极限概念，连最简单的极限性质也难于给出一个清晰的证明。 魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897年）的严谨成为“极仔细的推理”的同义语，被誉为“数学良知的杰出代表”，“现代分析之父”。他还是一位很有影响的教师，为许多未来的数学家树立了典范。他于1864年任柏林大学教授，1873年任柏林大学校长。在柏林大学任教时，他抛开长期以来表述极限的动态观点，包括柯西用变量的语言表述的极限概念，提出完全不同的静态观点，明确而全面地采用“语言”与不等式的方法，实现了极限概念表述的“算术化”，消除了柯西的“无限趋近”、“变为而且保持小于任意给定的量”等说法。 §1 数列极限的定义 高中数学教材曾两次引入又取消数列极限的严格定义。现在的高中数学基本上不讲极限了，参考书[11]与[12]只是在介绍导数时由“可以看出”和“无限趋近于”“一个常数”，直接引入“极限”一词和极限的记法。于是，如何引入极限的严格定义，是大学高等数学和数学分析教材中所面临的新的重要课题。 全部极限理论的基础是数列极限。理解、掌握数列极限概念，是理解、掌握全部极限概念的钥匙。本节讨论数列极限的概念。 1-1 给出4个数列： 例1 ，，即数列 。 例2 ，，即数列 。 例3 ，，即数列 。 例4 ，，即数列 。 1-2 用中学数学的“可以看出”指出这4个例子的极限。 例1数列各项的数值正负交替，而它们的绝对值是 ， 随着的无限增大的数值越来越小，而且是无限制地减小。“可以看出”它的极限是。 例2数列的数值在数1的左右摆动。知道它随着的无限增大而越来越接近1，而且是无限制地接近1。即数值 越来越小，而且无限制地减小。结合例1，“可以看出”它的极限是。 例3的数列，奇数项数值恒为2，偶数项的数值一次比一次更接近2，即 ，，。 但总的来说，有不等式 ，。 所以，根据前面的例子，“可以看出”这个数列的极限是。 例4数列的数值由大于3向3接近，它不是一次比一次更接近3，而是近了一大步又退了一小步。但是，因为 ，。 所以，由前面的例子，“可以看出”这数列的极限是。 1-3 数列极限例子的分析 用柯西的极限概念叙述“若代表某变量的一串数无限地趋向某一个数值，其差可以变为而且保持小于任意给定的量，则该固定值称为这一串数值的极限”，讨论上面4个数列极限的例子。 ⑴ 数列的项（）的数值就是柯西叙述中的“代表某变量的一串数”。 ⑵“该固定值称为这一串数值的极限”的“该固定值”依次是这4个例子中的 。 ⑶“其差可以变为而且保持小于任意给定的量”中的“差”指的是 。 ⑷ 柯西叙述中的“任意给定的量”就是任意给定的正数，记为。由阿基米德性质，对正数，存在正整数，使得，即。 ⑸ 由⑶与⑷知道柯西叙述中的“其差可以变为而且保持小于任意给定的量”指的是 “可以变为而且保持小于正数”。 ① 在1-2中，对4个例子已经都得到了不等式 ，。 根据⑷，存在正整数。于是，当时，恒有 。 这样，我们用算术不等式表达了①。 1-4 数列极限的定义 经过1-3的分析，已经可以给出魏尔斯特拉斯采用“语言”与不等式的方法，“算术化”地表述极限概念如下： 定义 设有数列与常数。 如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数，使得只要正整数，都有 ， 那么，就称数列