法向量求距离-课件（PPT-精）.pptVIP

* * 9.8 利用法向量求距离 知识要点 （其中 为向量 的夹角）。 求证:如果两条直线同垂直于一个平面, 则这两条直线平行. O i j x y z A B D 证明: 以点O为原点,以射线OA为非 负z 轴, 建立空间直角坐标系O-xyz, k 如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ,则称这个向量垂直于平面 , 如果 ,那么向量 叫做平面 的法向量 。 一、求点到平面的距离 定义：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即过这个点到平面垂线段的长度。 一般方法：利用定义先做出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。 P B A 向量法： P A 如图，已知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面 一个法向量 ，其中 ， d= 即d= 例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 D A B C G F E x y z 解:如图建立空间直角坐标系，则G(0，O，2)，F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)． =(2,-2,0), =(2,4,-2), =(2,0,0). 设面GEF的法向量为 =0 =0 D A B C F E x y z G ∴ 2x一2y=O，2x+4y-2z=0， ∴x=y，z=3y．令y=1，则 =(1,1,3)， 点B到面GEF的距离为 = 2. 直线到它平行平面的距离 定义：直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离的问题可由点到平面距离的知识来解决。 2、求线面距离 如图，直线a∥平面α,因直线a上任一点到平面α的距离与直线a到平面α的距离相等，故直线a与平面α的距离为 其中点A为直线a上任一点，B为 面α内任一点， 为面α的一法向量． 例2、在棱长为2的正方体AC,中，G为AA1 的中点，求BD与面GB1D1的距离 解：如图建立空间直角坐示系，则 B(2,2,O),G(2,0,1)， B1(2,2,2)，D1(0,0,2) =(2,2,0), =(2,0,-1), =(0,0,2), 设面GB1D1的法向量 =(x,y,z), 则 =0 ∴2x+2y=0，2x-2=O， =0 1 1 B D G A B D C A1 B1 C1 D1 即y=-z，z=2x． 令x=1．则 =(1,-1，2)． ∴BD与面GB1D1的距离为 = 3. 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。 两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求两平行平面的距离，只要求一个平面上一点到另一个平面的距离，也就是求点到平面的距离。 4、求面面距离 如图，平面α∥平面β，因平面α上任一点到β的距离等于两平面的距离，故两平行平面间的距离 其中点A为面α内任一点，B为面β内任一点， 为面α或面β的法向量． 例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 1)求证：面ABC∥面AlClD； 2)求面ABIC与面AlClD的距离． 解：如图建立空间直角坐标系， 则A(1，O，0)，B(1，1，O)，C(0，1，0)， D(0，0，O)， A1(1，0，1)，B1(1，1，1)， Cl(O，1，1)，D1(O，0，1)． =（1,0,1）, =（0,1,1）, =（-1,0,0）. 1)证明(略)