大数定律与中心极限定理-课件（PPT-精）.ppt

五、大数定律与中心极限定理 * 考试内容 切比雪夫不等式 切比雪夫大数定理 伯努利大数定理 辛钦大数定理 棣莫弗—拉普拉斯定理 列维—林德伯格定理 （一）切比雪夫不等式 设X为随机变量,且有有限方差,则对任意 有 或 意义：粗略估计方差存在的随机变量在以数学期望 为中心的对称区间上的概率；证明一些与概率有关 的不等式. （二）大数定理 1.切比雪夫大数定理 若X1, X2,‥,Xn相互独立,每个Xk的方差存在,且一致有界，即存在常数c, 使得 令 则对任意正数 有 或 意义：当n 很大时,相互独立方差一致有界的随机 变量的平均值依概率收敛于它的数学期望. 2.伯努利大数定理 设事件A在每次试验中发生的概率为p,n次重复 独立试验中事件A发生的次数为nA,则对任意正数 有 或 3.辛钦大数定理 若X1, X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有 相同的数学期望 对任意正数 有 意义：当n很大时,独立同分布的随机变量的平均值 依概率收敛于它的数学期望 （三）中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理） 若X1, X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同 的数学期望和方差： 则随机变量 的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布.即对任意x 满足 意义：均值为 方差为 的独立同分布的随机 变量的和 的标准化变量,当n充分大时,有 （近似服从） 2.棣莫弗—拉普拉斯定理 设随机变量 则对任意x,有 显然 其中X1, X2,‥,Xn独立同服从 意义:当n充分大时,二项分布可用正态分布来近似. 考点与例题分析 考点一：有关切比雪夫不等式 考点二：大数定理 考点三：中心极限定理 考点一：有关切比雪夫不等式 1.粗略估计X在 内的概率； 2.证明不等式. 例1 设随机变量X的数学期望EX=11,方差DX=9, 则根据切比雪夫不等式估计 解 由 有 考点二：大数定理 大数定理描述了独立同分布的随机变量的 在一定的条件下依概率收敛于它 的数学期望 平均值 例2 设X1, X2,‥,Xn相互独立,它们满足大数定理, 则Xi 的分布可以是 (D) Xi 的密度函数 (C) Xi 服从参数为 的泊松分布. (B) Xi 服从参数为 的指数分布. 分析：只须判断序列是否满足大数定理: 独立同分布且数学期望存在；（辛钦） 或独立但分布不同，而数学期望方差存在 且方差一致有界.（切比雪夫） (A) 解 选A.因为(A)中Xi 独立同分布,且 （ 收敛） 存在， (D)中Xi 独立同分布,但EXi 不存在，因 发散. (B),(C)中Xi 不同分布,且(B)中DXi=i2,(C)中DXi=1/i 均是i的无界函数. *