参数辨识模型-课件（PPT-精）.ppt

Fick原理：考察单位质量(1克)脑组织中示踪剂的数量。在这部分脑组织中，放射性示踪剂数量的改变等于动脉血输入的示踪剂量与静脉血带走的示踪剂量之差。 现对灰质和白质分别应用Fick原理。设单位质量灰质和白质血流量分别为f1和f2，单位为：毫升/克·分。即每分钟从每克脑灰质或脑白质中流出的血液为f1毫升或f2毫升，又设 t 时刻流入脑组织的动脉血中放射性示踪剂的浓度为Ca(t)； 时刻t，1克脑组织中灰质血液中的示踪剂含量和白质血液中的示踪剂含量分别为Q1(t)和Q2(t)。 现建立灰质组织中示踪剂的平衡关系，考察时段[t , t+?t]中灰质组织中示踪剂含量的变化，即 ?Q1= Q1(t+?t)– Q1(t)。 在1克脑组织中，灰质的质量为w1克， ?t时间流出的血液体积为f 1w1?t ，灰质组织 容纳的血液中示踪剂的浓度为 Q1(t)/(?1·w1)。因此，由静脉血从灰质中带走的示踪剂量为 f 1w1?t· Q1(t)/(?1·w1)= ?t· Q1(t) f1 /?1。 由(H2) ，在这段时间内流入灰质的动脉血量等于流出灰质的血液量，为f 1w1?t，又由动脉血中示踪剂的浓度为Ca(t) ，于是由动脉血输入的示踪剂量为 f 1w1?t ·Ca(t) 。 由Fick原理，有 ?Q1= 即 Q1(t+?t)– Q1(t)= f 1w1?t ·Ca(t) –?t· Q1(t) f1 /?1。 两边除以?t ，令?t?0，得 f 1w1·Ca(t) –Q1(t) f1 /?1 (1) * 参数辨识模型 §1. 引言 在数学建模中，经常会遇到这样一类问题：在确定了问题涉及的关键量和发现制约问题的基本规律或部分规律后，可以得到刻划这些关键量之间关系的数学表达式，但在这些表达式中尚包含若干未知参数。实际问题往往又提供了某些表征关键量变化的信息(如某种实验数 据等等)。如果利用这些信息，连同刻划关键量之间的表达式可以确定未知参数，则实际问题就迎刃而解了。 通常将确定未知参数的过程称为“参数辨识”，而将上述一类问题的数学描述称为参数辨识模型。 参数辨识模型应用非常广泛，刻划关键量之间关系的表达式也是多种多样的，既可 能是某种代数方程、函数方程，也可能是微分方程或方程组；未知参数在这些关系式中也以不同的方式出现；赖以进行参数辨识的信息更是多种多样的。 参数辨识模型与其它数学模型及建模方法密切相关。例如，当人们对问题的机理所知甚少时，参数辨识模型蜕变为回归模型或统计模型。当制约问题的规律用微分方程描述时，参数辨识模型 又与微分方程模型有十分密切的关系。若需要辨识的参数是某些微分方程的系数时，这类辨识模型又可称为微分方程的反问题。有一类专门刻划一个“系统”中各个部门之间物质的转移和守恒的参数辨识模型被称为房室模型。 解决参数辨识问题的数学方法涉及优化、微分方程或差分方程的求解、积分变换等等。 §2.施肥效果分析 1992年全国大学生数学建模竞赛A题为：某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P)。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一种营养素的肥料变化时，总将另二种营养素的施肥量保持在第七个水平上。试分析施肥量与产量之间的关系。 生菜：N P K 施肥量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 0 28 56 84 112 168 224 280 336 392 11.02 12.70 14.56 16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11 0 49 98 147 196 294 391 489 587 685 6.39 9.48 12.46 14.33 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651 15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40 我们仅讨论生菜产量与P肥施肥量之间的关系。模型的建立基于以下的事实：P是植物生长的要素之一，土壤