51矩阵的特征值与特征向量-课件（PPT-精）.ppt

第5.1节 矩阵的特征值 　与特征向量 * 一. 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 注： 设 是 阶方阵， 若数 和 维非零列向量 ，使得 成立，则称 是方阵 的一个特征值， 为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。 是方阵 (2) 特征向量 是非零列向量 2. 特征值与特征向量的求法 或 已知 所以齐次线性方程组有非零解 或 定义2： 数 是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。 设 阶方阵 的 个特征值为 则 称为矩阵A的迹。（主对角元素之和） 定理1： 另一方面, 由多项式相等,系数相等,即(1)得证. 求A的特征值与特征向量的步骤: 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 特征值为 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解。 齐次线性方程组为 当 时， 系数矩阵 自由未知量: 令 得基础解系: 常数)是对应于 的全部特征向量。 齐次线性方程组为 当 时， 常数)是对应于 的全部特征向量。 得基础解系 证明: 因为n阶矩阵的特征值由它的特征多项式 唯一决定. 例2: 而 若 的特征值是 ， 是 的对应于 的特征向量，则 的特征值是 是任意常数) 的特征值是 是正整数) 若 可逆，则 的特征值是 例3： * *