直线的点法式方程.doc

直线的“点法式”方程 及其应用举例 陕西省三原县南郊中学 李晓燕 郑克强 （邮编：713800） 先看看以下一段文字： 在本章讨论直线的一些问题中，我们已经应用了向量的有关知识．实际上，可以更多地应用向量解决有关直线的问题．下面作初步的介绍． 1、向量与直线方程 …… 如果向量与直线垂直，则称向量为直线的法向量．如图2，设直线有法向量，且经过点，则点在直线上的充要条件是 ．因为，且的充要条件是与的数量积为0，于是，得到直线的方程．这个方程由直线上一点及直线的法向量确定，称为直线的点法式方程． 如果直线有一般式方程且，则可得此直线的点法式方程： ．这是经过点，且法向量的直线方程．所以是直线的法向量．由于法向量可以从直线的一般式方程中直接得到，应用法向量在解决某些直线问题中比较便捷。 设，则与的数量积，所以．从而是直线的方向向量． 2、向量与直线间的位置关系 设直线和的方程分别是，，那么，和分别是直线和的法向量． 如果∥，则∥，所以．由此可知，是直线 ∥的必要条件． 如果，则，反过来也对．而的充要条件是，即．所以，直线的充要条件是 下面考虑两条直线的夹角． 设直线和的夹角为，两条直线的法向量的夹角为，则或．所以 由此式可以求得两条直线的夹角． 从上述文字叙述中，我们至少获取了以下信息： 1.什么是直线的点法式方程？直线一般式方程的几何意义是什么． 2.直线点法式方程在研究两条直线的位置关系，例如两条直线的平行的必要条件、两条直线垂直的充要条件以及两相交直线的夹角公式等等有重要应用． 实际上，采用向量方法研究有关直线及其方程问题时，还有一个优点，就是避免了采用斜率研究直线及其方程，所引起的比较复杂的讨论问题。本文试图通过以下数例予以说明。 应用之一——求直线的方程 设点在直线上，求证这条直线的方程可以写成 注：由直线点法式方程，即可得到结论。 【例2】求过点且分别适合下列条件的直线的方程： （1）平行于直线 （2）垂直于直线 解：（1）由于直线的法向量为，而由于所求直线与直线平行，故也是所求直线的法向量，由直线点法式方程得： 故所求直线方程为： （2）由于直线的法向量为，设所求直线的法向量，由题设，所以即，即，所以所求直线的法向量为，由直线点法式方程得： 故所求直线方程为： 说明：应用直线点法式方程解决此类问题时，关键在于确定点与法向量。 应用之二——对称问题中的应用 【例3】求点关于直线的对称点的坐标 解：直线的法向量，方向向量，由对称性知，直线的法向量也是，由直线点法式方程得直线的方程为 即 联立得 即线段的中点为， 由中点坐标公式得 故 说明：解题思路是通过直线的点法式方程的建立，将点关于直线的对称问题转化为点关于点的对称问题，从而使问题简化。 类似地，还可以采用此方法解答下列题目： 【例4】若抛物线上存在关于直线的对称两点，求实数的取值范围 解：略 （答案） 应用之三——求切线方程 【例5】已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程 解：由题设圆心为点，根据圆的切线性质，过点的切线与向量垂直，而是切线的法向量，由直线点法式方程得： 又因为点在圆上，所以 故切线方程为 说明：应用直线点法式方程来解答，避免了对切线斜率的存在与否的讨论，显得更加简捷。 仿此，亦可采用此法解决以下数目： 【例6】已知为圆上一点，求证：经过点的圆的切线方程为 应用之四——求夹角 【例7】一条直线经过点，且与直线的夹角为，求这条直线的方程 解：设所求直线的法向量为，则直线的点法式方程为 而已知直线的法向量为 由夹角公式得 或 故所求直线方程为：或 【例8】若两条直线和的夹角为45°则的值为 A．2 B． C．2或 D．4或 解：由夹角公式 平方得 即 解得 或 故选C 说明：夹角公式直接运用，思路单一，解答流畅。 直线的点法式方程的应用比较广泛，在此不一一列举了。 通过对直线点法式方种的应用探究，我们知道： 第一，直线的点法式方程的建立，把向量知识与直线的一般式方程有机地联系在一起，使得我们的知识视野更加开阔，思路更为灵活。 第二，直线的点法式方程中，表述简洁，条件单一，并且在解决相关问题时，无须复杂、冗长的讨论，不失为一种快捷、有用的方法。 第三，直线的点法式方程，除了在研究两条直线位置关系方面，有独到的作用外，在求两相交直线的夹角、切线问题、对称问题等方面，也有其独特的处理方式和方法。因此，只要我们深入展开研讨、探究，相信会有更惊人的发现的。 附注： （人教版）高中数学第二册（上） P60《阅读材料》“平面向量与直线的方程” （人教版）高中数学第二册（上） P48习题7．2第12题 （人教版）高