第二章 导数与微分1导数与微分2.doc

导数与微分 导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。它从根本上反映了函数的变化情况，我们将陆续介绍倒数和微分的用途。 §2、1 导数的概念 引例 线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点的切线是割线当沿该曲线无限地接近于点的极限位置。 设曲线方程为，设点的坐标为，动点的坐标为，要求出曲线在点的切线，只须求出点切线的斜率。由上知，恰好为割线的斜率的极限。我们不难求得的斜率为：；因此，当时，其极限存在的话，其值就是，即。 若设为切线的倾角，则有。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为（表示时刻），又设当为时刻时，位置在处，问：质点在时刻的瞬时速度是多少？ 为此，可取近邻的时刻，，也可取，在由到这一段时间内，质点的平均速度为,显然当与越近，用代替的瞬时速度的效果越佳，特别地，当时，某常值，那么必为点的瞬时速度，此时， 3、同理可讨论质量非均匀分布的细杆的线密度问题，设细杆分布在上的质量是的函数，那么在处的线密度为 二、 导数的定义 综合上几个问题，它们均归纳为这一极限（其中为自变量在的增量，为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。 定义：设在点的某邻域内有定义，且当自变量在点有一增量（仍在该邻域中）时，函数相应地有增量，若增量比极限：即存在，就称其值为在点的导数，记为，，或。 即等等，这时，也称在点可导或有导数，导数存在。 注 1：导数的常见形式还有：； ； ； 2：反映的是曲线在上的平均变化率，而是在点的变化率，它反映了函数随而变化的快慢程度。 3：这里与中的与是一个整体记号，而不能视为分子或与分母，待到后面再讨论。 4：若极限即不存在，就称在点不可导。特别地，若，也可称在的导数为，因为此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线。 若在开区间内的每一点处均可导，就称在内可导，且对，均有一导数值，这时就构造了一新的函数，称之为在内的导函数，记为，或，，等。 事实上， 或 注 5：上两式中，为内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而与是变量。但在导函数中，是变量。 6：在的导数就是导函数在点的值，不要认为是； 7：为方便起见，导函数就称为导数，而是在点的导数。 设，证明欲，那么。 证明：因为 所以。 若在点可导，问：？ 解： 。 反过来，亦证明：。 求导数举例 求函数（为常数）的导数。 解：在中，不论取何值，起其函数值总为，所以，对应于自变量的增量，有 ，即。 注：这里是指在任一点的导数均为0，即导函数为0。 求（为正整数）在点的导数。 解：即， 亦即，若将视为任一点，并用代换，即得 注：更一般地，（为常数）的导数为，由此可见， , 。 求在点的导数。 解： ,即 同理：若视为任意值，并用代换，使得，即。 注：同理可证：。 求的导数。 解： 所以。 注：特别地，。 求的导数。 解： 。 注 1：等最后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步： 一、给出； 二、算出； 三、求增量比； 四、求极限。 3、。 讨论在处的导数。 解：考虑，由§1.4例4知不存在，故在点不可导。 然而，及，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若，即[即 ]存在，就称其值为在点的右（左）导数，并记为，即 []。 定理1：在点可导在点的左导数和右导数均存在，且相等，即 。 注1：[例8]的左导数为-1，右导数为1。因为，所以在点不可导； 2：[例8]也说明左可导又右可导，也不能保证可导； 3：左、右导数统称为单侧导数； 4：若在内可导，且在点右可导，在点左可导，即存在，就称在上可导。 导数的几何意义 由前面的讨论知：：函数在的导数就是该曲线在点处的切线斜率，即，或为切线的倾角。从而，得切线方程为。若，或 切线方程为：。过切点，且与点切线垂直的直线称为在点的法线。如果，法线的斜率为，此时，法线的方程为：。 如果=0，法线方程为。 【】在点处的切线与法线方程。 解：由于，所以在处的切线方程为： 当时，法线方程为： 当时，法线方程为： 。 函数的可导性与连续性之间的关系 定理2：如果函数在点可导，那么在该点必连续。 证明：由条件知：是存在的，其中， 由§1、5定理1(i) （为无