线性代数第一章 行列式（考研辅导班内部资料）.doc

第一章 行 列 式 行列式是线性代数中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且在求逆矩阵、求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值以及判断二次型的正定性等方面都要用到. I 考试大纲要求 1、考试内容：行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理. 2、考试要求：1）了解阶行列式的概念，掌握行列式的性质； 2）会用行列式的性质和展开定理计算行列式. II 重要知识点 知识脉络图解 一、排列与逆序 1、级排列：由个数组成的一个有序数组称为一个级排列或称元排列，级排列共有个. 2、逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小次序相反，即排在前面的数比后面的数大，就称这两个数构成一个逆序. 一个排列中逆序的个数称为此排列的逆序数．用表示排列的逆序数.排列的逆序数由其中每一个数所引起的逆序个数相加而得到.若排列的逆序数是奇数，则称该排列为奇排列；逆序数为偶数，则称之为偶排列. 3、对换：把一个排列的某两个数的位置相互调换，其余各数不动，得到一个新的排列，这种调换称为一次对换. 4、有关排列和逆序的几个重要结论 1）对换改变排列的奇偶性. 2）在全部的级排列中，奇排列和偶排列各占一半，各为个. 3）任意一个级排列经过若干次对换可变为自然顺序排列，且所作的对换次数与排列的奇偶性相同. 二、阶行列式 1．行列式的定义 二阶行列式的定义： 三阶行列式的定义： 阶行列式的定义： 这里，是对所有级排列求和．故行列式等于取自不同行、不同列的个元素的乘积的代数和．每一项的正负号取决于组成该项的个元素的列标的逆序数(当其行标按自然顺序排列时)．即当是偶排列时，取正号，当是奇排列时，取负号．由于级排列共有项，所以阶行列式共有项． 2、行列式的性质 性质1 行列式的行和列互换，其值不变. 即行列式与它的转置行列式相等，. 性质2 交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式的正负号改变. 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则行列式等于零. 性质3 用一个数乘以行列式的某一行(列)的各元素，等于该数乘以此行列式.或者说行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式的前面. 推论1 若行列式的某行(列)的元素全为零，则该行列式等于零. 推论2 如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则行列式等于零. 性质4 如果行列式中某行(列)中各元素均为两项之和，则这个行列式等于两个行列式的和.即： 性质5 把行列式中某一行(列)的各元素同乘以一个数加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变. 3、几个特殊的行列式 1) 上三角形行列式：， 特殊情形：； 2) 下三角形行列式：； 3) ； 4) 设、分别是阶和阶方阵，则 ， ， 特殊情形：. 4、行列式按某行(列)展开 余子式：阶行列式中，把元素所在的第行第列的元素划去后剩下的元素按原来的次序排列而得到的阶行列式，称为元素的余子式，记为. 代数余子式：，称为元素的代数余子式. 行列式按某一行(列)展开： 行列式等于它的任一行(列)的所有元素分别与它们所对应的代数余子式的乘积之和.即： ， . 行列式的任何一行(列)的各元素与另一行(列)的对应的代数余子式的乘积之和等于零．即 5、克莱姆法则：如果线性方程组 (1) 的系数行列式，那么这个方程组有唯一解： ，，…， (() 其中是将系数行列式中的第列的元素(即的系数)换成方程组中的常数项所构成的行列式. 克莱姆法则给出了方程组的解与方程组的系数及常数项的关系的公式，在理论上和应用上都很重要. 若系数行列式，则不能用克莱姆法则求解．此时方程组可能有解，也可能无解，这需要根据具体情况讨论. 如果齐次线性方程组 (2) 的系数行列式，那么方程组只有零解.若系数行列式，则齐次线性方程组有非零解.反之亦然. 注意：克莱姆法则只能用于方程组的个数与未知量个数相等且行列式不等于零的线性方程组，对于方程个数与未知量个数不等或未知量个数与方程个数相等，但系数行列式等于零的情况，需用另外的方法求解.即就是线性方程组满足克莱姆法则的条件，当未知量个数较大时，按法则给的形式求解计算量太大，没有实用价值，因此此法则的主要意义在理论上.随后在线性方程组那部分内容我们将专门讨论线性方程组的求解问题. 6、重要公式及结论 1）；；而没有及. 2）范德蒙行列式：. 行列式的核心问题是行列式值的计算，其计算方法大致可分为： 按定义计算：此方法只能计算阶数较低的行列式或行列式中零元素较多而按定义展开的项数较少，如上三角行列式、下三角行列式