傅里叶变换-课件（PPT-精）.ppt

* (a) (b) 图4.9 傅里叶变换的旋转性，对比图4.8 4.1.2 离散傅里叶变换 * 4. 数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性 1)数字图像傅里叶变换的频谱分布 数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如图4.10所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。 4.1.2 离散傅里叶变换 * 图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布 4.1.2 离散傅里叶变换 * 图4.11 频率位移示例 4.1.2 离散傅里叶变换 * 图4.11为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。 2）图像傅里叶变换的统计分布 （1）傅里叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据傅里叶变换公式有： 它反映了原始图像的平均亮度。 4.1.2 离散傅里叶变换 * （2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85％的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。 （3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。 4.1.2 离散傅里叶变换 * * * 第4章 图像变换 4.1 傅里叶变换 4.2 离散余弦变换 4.3 K-L变换 4.4 小波变换 * 第4章 图像变换 为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，然后通过逆变换操作转换到图像空间。 本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。 * 1.一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件： (1)具有有限个间断点； (2)具有有限个极值点； (3)绝对可积。 则定义f(x)的傅里叶变换为： * 4.1 连续傅里叶变换 从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为： * 上述二式形成傅里叶变换对，记做 ： 函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表示： F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。 写成指数形式： 4.1 连续傅里叶变换 F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角： * 幅度： 相角： 幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，φ(u)称为相位谱。 称为f(x)的能量谱或称为功率谱。 4.1 连续傅里叶变换 2.二维连续傅里叶变换 傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶变化对： * 二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为： * 1.一维离散傅里叶变换 对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为： 4.1.2 离散傅里叶变换 傅里叶反变换定义由表示： * 可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。 其傅里叶谱、相位和能量谱如下： 4.1.2 离散傅里叶变换 2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法 由DFT的定义，N＝4的原信号序列f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里叶变换F(u)展开为： * 4.1.2 离散傅里叶变换 将e指数项化简可写成矩阵形式： * 记作： 可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时，参看图4.1(a)。 把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。 4.1.2 离散傅里叶变换 * (a) (b) 图4.1 复平面单位圆