004八年级上册第一章勾股定理提高版 教师用.doc

八年级上册第一章 勾股定理（2） （博客/sx110 QQ:181932921 电邮mrzjs@） 第一部分 知识回顾 一、再回顾两个乘法公式：完全平方公式，平方差公式： ． ． 已知，则 ． 已知，则= ． 已知，则 ． 已知，则 ． 提问： 1、若，则 ； ． 2、已知，则 ．（原题） 3、 ．（填入不等式） 二、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．（即：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关． 如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形．（若c2a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2a2+b2则△ABC是以∠C为锐角三角形） 补在△ABC中， (1)若c2=a2+b2，则∠C 90°；(2)若c2＜a2+b2，则∠C 90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C 90°． 补勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数. 第二部分 典型例题 【例1】等边三角形的边长为2，求它的面积． 解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D则：BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1 在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2－BD2=4－1=3 ∴AD= S△ABC=BC·AD= 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a． 【例2】在锐角△ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围． 分析：显然第三边b－acb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值． 解：设第三边为c，并设△ABC是直角三角形 当第三边是斜边时，c2=b2+a2，∴c= 当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2=a2+c2，∴c=2（即） ∵△ABC为锐角三角形 所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成为锐角（如图），但当移动到点A2位置时∠ACB成为直角．故点A应当在A1和A2间移动，此时2AC 注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑． 【例3】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积． 解：连结AC ∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理），∴AC=5 ∵AC2+CD2=169，AD2=169，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36 本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题． 【例4】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在CD的同侧，若AB=，则BE= ． (2001年重庆市中考题) 思路点拨 因BE不是直角三角形的边，故不能用勾股定理直接计算，需找出与BE相等的线段转化问题． 注 千百年来，勾股定理的证明吸引着数学爱好者，目前有400多种证法，许多证法的共同特点是通过弦图的割补、借助面积加以证明，美国第20任总统加菲尔德(1831—1881)曾给出一个简单证法． 勾股定理的发现是各族人民早期文明的特征，有人建议，将来与“外星人”交往，可以把勾股定理转化为光电讯号，传向异域，他们一定懂得勾股定理． 现已确定的2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案． 【例5】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为( ) (2003年山东省中考题)