§11-§12矩阵概念-矩阵计算.ppt

1 例4 设矩阵 ， ， 且 ，(1) 计算 ； (2) 求矩阵 ． 解 注： ※方阵的多项式 性质5 若 、为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆， (1) (2) ①定义 若 其中 注： 1）条件 左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数 2）方法 等于左矩阵 的第 行与右矩阵 的第 列对应元素 左行右列法——矩阵乘积 的元素 乘积的和. 3）结果 左行右列——左矩阵Ａ的行数为乘积 Ｃ的行数，右矩阵Ｂ的列数为乘积Ｃ的列数. §1.2 矩阵的运算 矩阵的乘法 3 规定 特别： 与 矩阵的乘积 与 矩阵的乘积为 为一阶方阵，即一个数 一个ｓ阶方阵 §1.2 矩阵的运算 例5 （2） 练习1、已知 计算 解 §1.2 矩阵的运算 不能相乘: 是 矩阵， 是 矩阵， 同理 ，不能相乘. §1.2 矩阵的运算 例6、 线性方程组的矩阵表示 设含有 个未知数， 个方程的线性方程组 §1.2 矩阵的运算 系数矩阵 未知数向量 常数项向量 增广矩阵 §1.2 矩阵的运算 根据矩阵的乘法，有 §1.2 矩阵的运算 由矩阵相等的定义 （1.2） 称之为矩阵方程 称为矩阵方程的解向量 再例如： 设 为元素已知的矩阵， 为元素 未知的矩阵， 下列都是矩阵方程： §1.2 矩阵的运算 一般地，称 为 左乘 (或 被 左乘)， 称 为 右乘 (或 被 右乘). 例7、设 求 §1.2 矩阵的运算 解 当然，并不是所有矩阵相乘都不可以交换，例如： 可见，矩阵的乘法不满足交换律，即 §1.2 矩阵的运算 ②矩阵相乘的三大特征 1、无交换律 2、无消去律 3、若 ③运算规律 （假定所有运算合法， 是矩阵， ） （1） （2） （3） （4） （5） 注 不尽相同， 亦不尽相同. §1.2 矩阵的运算 ④方阵的幂运算 ※定义 规定 若 注： 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. 2、 只能是正整数. （1） （2） ※运算规律 （设 均是 阶方阵， ） （4） （3） （5） （6） §1.2 矩阵的运算 数 的多项式 设 为 阶方阵， 是常数， 称 为方阵 的多项式． 一般方阵多项式记为 等. 由幂运算律(2)知，方阵多项式也有类似的因式 分解运算如 §1.2 矩阵的运算 矩阵的逆 4 例 使得 的逆矩阵记作 ①定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ， 则称矩阵 是可逆的， 是 的逆矩阵. 并把矩阵 称为 的逆矩阵. §1.2 矩阵的运算 ②性质 性质1 若 阶矩阵 可逆，则 的任何一行或者 一列的元素不能全部为零. 定义 证 假设 可逆，不失一般性， 设 第 行的元素全部 为零．则可以表示为 行，由于可逆， 所以存在矩阵 ，且有 ． 对于 的第 行 列元素 矛盾．因此， 的任何一行元素不能全部为零． 同理可证列的情况． §1.2 矩阵的运算 §1.2 矩阵的运算 性质2 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 若设 和 是 可逆矩阵， 所以 的逆矩阵是唯一的,即 证明 于是 则有 性质3 若 可逆，则 亦可逆，且 ． 证明 因 可逆 §1.2 矩阵的运算 性质4 若 可逆， 数 ， 则 可逆，且 证明 且 ． 所以 是可逆矩阵，且 ． 证明 因为 、 可逆，所以存在 、 ，且有 证明 因为 、 可逆，所以存在 、 ，且有 许昌学院 数学与统计学院 授课教师 王萍莉 * * 许昌学院 数学与统计学院 授课教师 王萍莉 线性代数 线性代数发展简介 1 第一章 矩阵 2 3 4 5 线性代数发展简介 1 数学研究对象 数 形 代数学 几何学 分析学 沟通 线性代数发展简介 线性代数的重要问题 线性代数发展简介 解线性方程组 行列式 矩 阵 线性代数发展简介 行列式 使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式 题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1693 年，莱布尼茨（德）在写给洛比达的一封信中 为零的条件。 日本数学家关孝和（1642-1708）在其著作《解伏 线性代数发展简介 矩阵 Gauss Sylvester Cayley 孕育-提出-完善 线性代数的进一步深入发展——二次型 线性代数的扩展——从解