§16晶体的宏观对称性和点群.ppt

§1.6 晶体的宏观对称性和点群 —— 晶体在几何外形上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现 （a）圆 b）正方形 c）等腰梯形 d）不规则四边形 —— 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不 同的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的不变性 —— 三维情况下，正交变换的表示 —— 其中矩阵是正交矩阵 晶体的宏观对称性的描述 —— 中心反演的正交矩阵 —— 空间转动，矩阵行列式等于＋1 —— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1 保持两点距离不变的变换都是正交变换。如 旋转和反射 对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变 1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动 —— 9个对称操作 —— 物体的对称操作越多，其对称性越高 —— 共有6个对称操作 2) 绕6条面对角线轴转动 —— 8个对称操作 3) 绕4个立方体对角线轴转动 4)??正交变换 —— 1个对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个 5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上，正四面体的对称操作包含在立方体操作之中 —— 金刚石晶格 —— 共有3个对称操作 1) 绕三个立方轴转动 —— 8个对称操作 2) 绕4个立方体对角线轴转动 3)??正交变换 —— 1个对称操作 —— 正四面体 对称操作共有24个 3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动 —— 5个 —— 3个 3) 绕相对面中心连线转动 —— 3个 4)??正交变换 5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作 —— 正六面柱的对称操作有24个 2) 绕对棱中点连线转动 —— 1个 “对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性 对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴 一个物体绕某一个转轴转动 加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时 —— 该轴为物体n重旋转－反演轴，计为 4 对称素 一个物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时 —— 该轴为物体n重旋转轴，计为 面对角线 为2重轴，计为2 ? 立方体 立方轴 为4重轴，计为4 同时也是4重旋转－反演轴，计为 同时也是2重旋转－反演轴，计为 体对角线轴 为3重轴，计为3 同时也是2重旋转－反演轴，计为 ? 正四面体 体对角线轴是3重轴 —— 不是3重旋转－反演轴 立方轴是4重旋转－反演轴 —— 不是4重轴 面对角线是2重旋转－反演轴 —— 不是2重轴 ? 对称素 的含义 —— 先绕轴转动，再作中心反演 A’’点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素 存在一个对称面M —— 用 表示 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 —— 对称素为镜面 5 群的概念 —— 群代表一组“元素”的集合，G ? {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质 1)??集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 —— 若 A, B ? G, 则AB=C ? G. 叫作群的封闭性 2)??存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E 4)??元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C 正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则 整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则 —— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作 单位元素 —— 不动操作 任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度?，其逆操作为绕转轴角度－ ? ；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行A和B操作 —— 相当于C操作 A 操作 —— 绕OA轴转动?/2 —— S点转到T’点 B 操作 —— 绕OC轴转动?/2 —— T’点转到S’点 S’ 上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2?/3 表示为 —— 群的封闭性 可以证明 —— 满足结合律 S’ 6 点群 —— 晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性 —— 经历一个对称操作晶体不变，相应的布喇菲格子不变