二次根式的化简与计算的策略与方法.doc

二次根式的化简与计算的策略与方法 　　二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： 　　①先将式中的二次根式适当化简 　　②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，） 　　③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． 　　④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． 　　⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 　　化简二次根式的常用技巧与方法 　　二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 　　1．公式法 　　【例1】计算①； ② 　　【解】①原式 　　②原式 　　【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便． 　　2．观察特征法 　　【例2】计算： 　　【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 　　【解】原式． 　　【例3】 把下列各式的分母有理化． 　　（1）；（2）（） 　　【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 　　【解】①原式 　　 　　【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 　　【解】②原式 　　 　　 　　3．运用配方法 　　【例4】化简 　　【解】原式 　　 　　【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 　　4．平方法 　　【例5】化简 　　【解】∵ 　　 　　 　　∴． 　　【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题，一般用平方法都可以进行化简 　　5．恒等变形公式法 　　【例6】化简 　　【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式，则使运算简化． 　　【解】原式 　　 　　 　　6．常值换元法 　　【例7】化简 　　【解】令，则： 　　原式 　　 　　 　　 　　 　　 　　7．裂项法 　　【例8】化简 　　【解】原式各项分母有理化得 　　原式 　　 　　【例9】化简 　　 　　【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解： 　　【解】原式 　　 　　 　　 　　8．构造对偶式法 　　【例10】化简 　　【解】构造对偶式，于是没 　　 ， 　　则，， 　　原式 　　 　　9．由里向外，逐层化简 　　 　　【解】∵ 　　 　　而 　　 　　∴原式 　　【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理． 　　10．由右到左，逐项化简 　　【例11】化简 　　 　　【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简． 　　【解】原式 　　 　　 　　 　　． 　　【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的． 返回 二次根式大小比较的常用方法 　　二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用． 　　1．根式变形法 　　【例1】比较与的大小 　　【解】将两个二次根式作变形得 　　 ， 　　∵，∴即 　　【解后评注】本解法依据是：当，时，①，则；②若，则 　　2．平方法 　　【例2】比较与的大小 　　【解】， 　　∵，∴ 　　【解后评注】本法的依据是：当，时，如果，则，如果，则． 　　3．分母有理化法 　　通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小． 　　【例3】比较与的大小 　　【解】∵ 　　 　　又∵ 　　∴ 　　4．分子有理化法 　　在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．