二阶线性非齐次微分方程.ppt

第五节 二阶线性非齐次微分方程 一、解的结构定理 二、待定系数法 三、小结 四、作业 (1) (2) 难点 方法 待定系数法 特征方程法 解的结构定理 一、解的结构定理 二阶常系数非齐次线方程 二、待定系数法 设非齐方程特解为 求导代入原方程 综上所述, 注 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数). 不是根 是单根 是二重根 二阶常系数线性非齐次微分方程 的一个特解可设为 解 特征方程 特征根 例 (1) 对应齐次方程的 (2) 求非齐次方程的特解 此题 其中 ? 不是根 是单根 是重根 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例 (1) 求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解 此题 其中 ? 代入方程, 得 原方程通解为 对应齐次方程通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 例 二阶常系数线性非齐次方程 (2) 求非齐次方程的特解 所以 (3) 求原方程的特解 即 特征根 原方程通解为 (求函数y的解析表达式) 且 代入方程, 得 所以 联立 将之代入通解得 所以, 函数y的解析表达式为 提示 根椐线性微分方程的性质, 可先求方程 和 的特解, 两个解的和就是原方程的特解. 特解. 二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程 的特解 的形式为 解 特征方程 特征根 对应的齐次微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 其中 (2) 求非齐次方程的特解 二阶常系数非齐次线性微分方程 代入方程, 原方程通解为 对应齐次方程通解 得 二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉公式 二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉公式 注 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 共轭 解 例 (1) 求对应齐次方程 特征根 其通解 这是二阶常系数非齐次线性方程, 且 特征方程 的通解 二阶常系数非齐次线性微分方程 (2) 求非齐次方程 故设 代入方程,比较系数，得 这里 特征根 非齐次方程特解为 是特征根， 原方程通解为 的特解. 解 两端再对x求导,得 积分方程 微分方程 积分方程 即 即 这是二阶常系数非齐次线性方程. 其中 f 为连续函数,求f (x). 即 即 初始条件 初始条件 其通解 (1)对应齐次方程 特征方程 特征根 (2)设原方程的特解为 解得 则 方程的通解为 由初始条件,得 所以, 初始条件 是特征根. 三、小结 待定系数法 二阶常系数非齐次线性微分方程 思考题 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 其中 (0次多项式), (二重) 二阶常系数非齐次线性微分方程 (2) 求非齐次方程的特解 且 所以， 原方程通解为 ◆ 特征根 不是特征根. 代入方程, 得 所以， 原方程通解为 ◆ 特征根 是二重特征根. 代入方程, 得 综上所述， 二阶常系数非齐次线性微分方程 习题 练习 总复习 二阶常系数非齐次线性微分方程 四、作业5