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课程论文：等参单元及其应用 1 概述 等参单元的原理及其对有限元法工程应用的意义。 1.1 等参单元的原理 为了更适用于实际工程问题和物理问题的分析，需要将规则形状的单元转化为其边界为曲线或曲面的相应单元，在有限元法中最普遍采用的变换方法式等参变换，即单元几何形状和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参单元。 等参单元的原理是通过等参变换，建立起局部（自然）坐标中几何形状规则的单元与总体（笛卡尔）坐标中几何形状扭曲的单元的一一对应的映射关系，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要。 为此，必须建立一个坐标变换，即 或 为建立前面所述的变换，最方便的方法就是将上式表示成插值函数的形式，即： 其中，是用以进行坐标变换的单元节点数；，，是这些节点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值；称为形状函数，实际上它也是用局部（自然）坐标表示的插值函数。 通过上式建立起两个坐标系之间的变换，从而将自然坐标内的形状规则的单元变成为总体笛卡尔坐标内的形状扭曲的单元，通常称前者为母单元，后者为子单元。 另外，此坐标变换式和函数的插值表达式：在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的节点，并且采用相同的插值函数，即，，则称这种变换为等参变换；如果坐标变换节点数多于插值函数的节点数，即，则称为超参变换；反之，，则称为次（亚）参变换。 1.2 等参单元对有限元法工程应用的意义 等参单元在有限元法的发展中占有重要的位置，由于它能使局部坐标系内的形状规则的单元变换为总体坐标系内形状扭曲的单元，从而为求解域是任意形状的实际问题的求解提供了有效的单元形式。 评价等参单元主要包括几点： （1）等参单元形状、方位任意，容易构造高阶单元，适应性好，精度高。 （2）等参单元列式具有统一的形式，规律性强，采用数值积分计算，程序处理方便； （3）由于等参单元涉及单元几何形状的变换，对实际单元的形态有一定要求。单元形态好坏影响计算结果的精度。单元形态应满足： ① 单元各方向的尺寸尽量接近； ② 单元边界不能过于曲折，不能有拐点和折点，尽量接近直线或抛物线； ③ 边之间夹角接近直角。 对有限元法工程应用来说，等参单元的主要意义在于：它使的刚度、质量、阻尼、载荷等特性矩阵的计算的规则域内进行，不管各个积分的被积函数如何复杂，可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。的一般表达式为： 其中，是应变矩阵，是材料弹性矩阵，是单元体积。 等参单元刚度矩阵计算时，以母单元为，，坐标系中的立方体单元为例。将被积函数中的和表示成自然坐标的函数，同时将变换为自然坐标下的体积微元并确定积分的上、下限即可得到： 其中，是雅可比行列式 由于子单元的形状复杂多变，因此在通常情况下，被积函数都比较复杂。在单元刚度矩阵的计算中，尽管采用了自然坐标后，积分限规格化了，但是除了少数较简单的情况外，一般都不能进行显示积分，因而需要求助于数值积分。 数值积分方法的基本原理是在单元内选出某些点（称为积分点或取样点），算出被积函数在这些积分点处的函数值，然后用对应的加权系数乘上这些函数值，再求出总和，将其作为近似的积分值。 讨论一维问题的数值积分。其基本思想是：构造一个多项式，使在（=1，2，…，）上有，然后用近似函数的积分来近似原被积函数的积分，称为积分点或取样点。积分点的数目和位置决定了近似的程度，因而也就决定了数值积分的精度。 对于个积分点，按照积分点位置的不同选择，通常采用两种不同的数值积分方案，即Newton-Cotes积分方案和高斯积分方案。 （1）Newton-Cotes积分 在这种积分方案中，包括积分域端点在内的积分点按等间距分布。 对于个积分点（或取样点），根据积分点上的被积函数值可以构造一个近似多项式，使在积分点上有 （i=1,2,…） （2-1） 这个近似多项式可以通过Lagrange多项式来表示 （2-2） 其中是阶Lagrange插值函数 （2-3） 由于插值函数有以下性质 （2-4） 所以有 式（2-3）的插值函数是次多项式，因此近似函数也是次多项式，积分 （2-5） 令 （2-6） 则（2-3）可以写作 （2-7） 式中称为积分的权函数，可由（2-6）确定。可以看到加权系数与被积函数无关，只与积分点的个数和位置有关。 Newton-Cotes积分中积分点的位置按等间距分布，即 （=0,1,2,…） （2-8） 其中是积分点间距。 现在用近似，根据式（2-7）可以写成 （2-9） 式中是余项。 由于个积分点的Newton-Cotes积分构造的近似函数是次多项式，因此个积分点的Newton-Cotes积分可达到阶的精度，