核心词解读四,几何直观-3.doc

跨越断层，走出误区： 《数学课程标准》核心词的实践解读之四 上海市静安区教育学院 曹培英 一、怎样理解几何直观 近年来，几何直观成了数学教育的热议话题之一，学者、教师纷纷撰文阐述，其中不乏深入的学理分析与经验总结。然而，不少教师反映，阅读之后总体感觉相关概念难以辨析，有些文章“越看越玄”。 那么，基于小学数学教学的实际，我们应该如何解读几何直观这一核心词？有必要从直观的本意说起。 1.直观与几何直观的本意 所谓直观，字面意义是“直接的观察”，通常指“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识人们在实践中对客观事物的直接的、生动的反映。直接接触获得感性认识年幼儿童坐翘翘板，发现，如果坐小朋友比重，那么他离中间近一点，而离中间远一点，能使翘翘板平衡。这是动作水平上获得了杠杆原理的感性认识。坐翘翘板而获得的感性认识感性认识获得感性认识哲学、数学、心理学视角“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。” 数学家克莱因指出，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。” 数学家希尔伯特在他的名著《直观几何》一书的序言中写道 数学和数学教育家弗莱登塔尔认为，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。” 我国数学家徐利治教授认为，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。” 心理学家认为，“直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力”。 这些论述的共同点在于：直观、数学直观、几何直观，都不再停留在感性认识或意义发现意义或内在本质 基于上述几何直观的层次区分，可以认为三句话其实都涵盖了两种层次的几何直观。例如，“直观地理解数学”既包括“直观感知”水平的初步理解，也包括“直观洞察”水平的本质理解，当然也包括介于两种层次之间的相对深入的直观理解。 显而易见，其他两句话也能如此解读。 5. 两种层次的几何直观的实例 立足教与学的实际，小学阶段的几何直观，以直观感知层次为主，逐步向相对深入的直观理解水平发展，同时兼有少量直观洞察层次的表现。 直观感知层次的实例如： [案例1] 为了帮助低年级学生直观感知乘法交换律，理解一句乘法口诀可以算两道乘法题，常常采用如下图示(图1)。 ○○○○ →横着看，3个4， ○○○○ ↓竖着看，4个3， ○○○○ 所 以：4×3＝3×4。 图1 为了增添趣味性，也可以把圆形换成“小精灵”，如图2。 类似的教学实例很多。 [案例2] 让每一小精灵手拿2只气球，计算一共有多少只气球，就成了一个有利于直观感知乘法结合律的插图，如图3。 每行有2×4只气球，3行有2×4×3只气球， 一共有4×3个精灵，一共有2×(4×3)只气球, 所以：2×4×3＝2×(4×3)。 [案例3] 再增加2行小精灵, 计算两组精灵一共有多少个，就是一个可以导出乘法分配律的直观图，如图4。低年级小学生都能观察感知：3个4加2个4等于5个4。这样的直观解释不仅具体揭示了乘法与加法之间的联系，而且将这一联系归结为乘法运算的原始意义，因而在后续的数学学习与数学应用中，具有相当广泛的学习迁移价值。 低年级小学生能够发现这些图示所揭示的数学事实，但还没有要求他们用语言或字母概括一般的规律，所以说这时的认知还处在直观感知水平。 仔细回溯以往的教学，也能找出一些直观洞察层次或接近该层次的实例。 [案例4] 为了帮助高年级学生直观洞察两数之积一定时，两数之间的反比例关系，常常给出实例，如“面积12平方米的长方形，长a、宽b的米数取整数时”： a (米) 1 2 3 4 6 12 b (米) 12 6 4 3 2 1 借助长方形面积一定这个几何模型，学生可以相当直观地悟出，积一定时，两个因数的反比例关系，原来是这么回事：当长方形面积固定不变时，宽随着长的变化而变化，长越大，宽就越小，反之亦然。尽管对于反比例函数来说，这个几何模型具有较大的局限性，但用来解释k＞0时第一象限的变化规律，还是不错的。 同类实例又如： [案例5] （1）两个数的和是8，这两个数的积最大是多少？学生能够通过不断尝试，发现两数之积的最大值是4×4，但无法作出解释。 （2）周长都是16厘米的长方形，长、宽各取多少时，面积最大。让学生利用方格纸画图，他们同样能发现，长、宽之和8厘米，长、宽相等时面积最大，如图6。面对自己的“作品”，有些学生会若有所悟：长每缩短1厘米，宽则增加1厘米，周长不