五、有限元法中的应用技术.ppt

第五单元 有限元法应用技术专题 图5-1 三个单元轴向拉伸杆 第四节 结构有限元建模与分析概要 4、有限元建模中的探索性学习 1）单元类型、参数和网格布局的数值试验。 2）等效模型验证。针对建模中难以把握的问题，设计简单的等效模型进行试验，用于获得建模策略、模型诊断、了解软件有关性能。 * * 第一节???? 应力计算结果的性质与处理 1、有限元位移法应力解特点 有限元位移法中是以位移作为直接求解的未知场函数，解得的首先是节点位移值。然后根据应变矩阵和应力矩阵分别从节点位移求得单元内的应变和应力。 应变矩阵是对单元位移模式求导数的结果。对于弹性力学问题，由前面分析知，位移在求解区域是C0连续，即单元之间的位移虽连续，但不光滑。因此，单元应力在单元之间的边界上不连续。 从整体上看，应力的精度和收敛速度比位移解低一阶。除了上述单元之间交界面上应力不连续之外，应力解的误差还体现在两个方面： 单元内部应力的误差。因为有限元位移法中，总势能驻值条件（平衡条件）只是总体上的近似满足，不要求，也无法要求单元内部处处满足平衡条件。 在力作用边界上，一般也不精确满足力边界条件。 上述应力误差的降低可通过单元网格加密（h-收敛）来实现。 2、位移法应力近似解的性质 由势能泛函表达式和最小势能原理可以导出：基于里兹法的应力近似解 就是满足使下列泛涵取极小值的解： 式中 为真正解，C 为柔度矩阵 由此得到应力近似解的性质就是：位移法的应力近似解 是真正解在在加权最小二乘意义上的近似解。 因此，有限元应变、应力解的一个特征是，它们一定在真正解上下震荡。显然，在一个单元上也是如此。因此，单元上存在一些点，其应力解精度高于整体的应力精度，甚至等于真正解。即单元内存在最佳应力点。 与单元位移模式多项式次数相同的积分阶次的高斯积分点是最佳应力点。这些点上应变或应力近似解比其它部位具有更高的精度。 了解上述应力近似解的特点和规律有助于我们处理应力计算结果，改善应力解的精度。 3、等参元的最佳应力点 由上述应力近似解性质可以推出实体等参元最佳应力点的结论： 4、应力的平均法处理 相邻单元平均。常用于3节点三角形单元。由于应力解的震荡特性，单元边界上应力取相邻单元的平均值可以较好地逼近真正解。但应该避免相邻单元尺寸相差太大。 绕节点平均。取围绕某节点周围相关单元上的节点应力值计算该节点上应力的平均值。 5、应力磨平技术 待求改进应力解一般利用单元节点上待定的改进应力值的插值来表达。 应力磨平分为：①总体应力磨平；②单元应力磨平；③子域局部应力磨平。 原理：根据真正解与有限元解满足加权最小二乘的原理，构造一个改进应力解 的泛函A，使该待求的改进解与有限元法求得的应力解 满足加权最小二乘。 6、引入力的边界条件修正边界应力 工程实际问题中，所关心的最大应力往往出现在物体边界上。对于边界上与法向有关的应力分量，有限元结果往往不准确。可以直接引入力边界条件修正边界上有关的应力分量。 边界上应力误差也可以通过收敛过程得以消除。 第二节 有限元模型内部约束处理 有限元模型除了必须消除整体刚体位移的外部约束（又称单点约束）之外，有时在模型中有关节点自由度之间还必须满足一定的内部约束关系（又称多点约束MPC），以消除局部刚体位移或模拟特定力学模型。 例如，不同类型单元（如梁单元与实体单元）之间的连接，某些自由度之间满足的强制约束关系，模型中存在的接触，刚性连接，以及各种建模需要等，都需要在有限元方程中引入这种自由度之间的约束关系。 一个通用软件中，除了包含各种模拟实体和结构的常规单元之外，也包含各种处理这种约束的机制或技术，使得有限元法及其软件能够处理各种反映实际的力学模型。有限元法中，有多种方法处理多点约束，下面讨论基本的拉格朗日乘子法和罚函数法。 而结构位移 中某些分量之间满足一定的线性约束关系： 式中 ， 分别为常数矩阵，列阵。约束方程的数目少于未知量数目。 1、拉格朗日乘子法 拉格朗日乘子法原是求解函数在变量之间满足某种约束关系时最大值或最小值的一种待定乘子法。 实际上，有限元位移法是求解一个满足总势能最小的最优位移解的优化问题，变量（位移）满足的各种约束将通过不同的形式引入总势能泛函中。拉格朗日乘子法是其中的一种。 假设对某有限元模型，总势能为： 为了引入该约束关系，用一个待定乘子的行向量 左乘上述约束方程，该乘子称为拉格朗日乘子，乘子数和约束方程数相等。将上述乘积加到总势能表达式中： 这时问题的变量除了位移之外，还有待定的拉格朗日乘子。当总势能达到最小值时，有驻值条件： 合并成矩阵方程得到： 显然，该分块方程的第二式就是约束方程。求解上述方程，得到和