关于极值点的几个题目.doc

关于极值点 　一．解答题（共7小题） 1．已知函数． （1）若y=f（x）在（0，）恒单调递减，求a的取值范围； （2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），求a的取值范围并证明x1x2＞2． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣xa（aR）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求a的取值范围； （2）记两个极值点x1，x2，且x1x2，已知λ0，若不等式x1?x2λe1+λ恒成立，求λ的取值范围． 3．已知函数f（x）=ln﹣ax2x， （1）讨论函数f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）f（x2）3﹣4ln2． 4．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）． （1）若a=，求函数f（x）的单调区间； （2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围． 5．已知函数f（x）=lnx﹣ax． （Ⅰ）若函数f（x）在（1，）上单调递减，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1x2．求证：x1x2＞1． 6．已知f（x）=ln（mx1）﹣2（m0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若m0，g（x）=f（x）存在两个极值点x1，x2，且g（x1）g（x2）0，求m的取值范围． 7．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（aR），g（x）=f′（x）． （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，求实数a的值； （2）若函数F（x）=g（x）x2有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：f（x2）﹣1f（x1） 　  关于极值点的几个题目------有点难 参考答案与试题解析 　一．解答题（共7小题） 1．（2017?达州模拟）已知函数． （1）若y=f（x）在（0，）恒单调递减，求a的取值范围； （2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），求a的取值范围并证明x1x2＞2． 【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为，令，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可； （2）求出函数f（x）的导数，令F（x）=f（x）=lnx﹣ax1，求出函数F（x）的导数，通过讨论a的范围求出a的范围，证明即可． 【解答】解：（1）因为f（x）=lnx﹣ax1（x0）， 所以由f（x）0在（0，）上恒成立得， 令，易知g（x）在（0，1）单调递增（1，）单调递减， 所以ag（1）=1， 即得：a1…（5分） （2）函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2）， 即y=f（x）有两个不同的零点，且均为正，f（x）=lnx﹣ax1（x0）， 令F（x）=f（x）=lnx﹣ax1，由可知 1）a0时，函数y=f（x）在（0，）上是增函数，不可能有两个零点． 2）a0时，y=F（x）在是增函数在是减函数， 此时为函数的极大值，也是最大值． 当时，最多有一个零点，所以才可能有两个零点， 得：0a＜1…（7分） 此时又因为，，， 令，φ（a）在（0，1）上单调递增， 所以φ（a）φ（1）=3﹣e2，即 综上，所以a的取值范围是（0，1）…（8分） 下面证明x1x2＞2 由于y=F（x）在是增函数在是减函数，，可构造出 构造函数 则，故m（x）在区间上单调减．又由于， 则，即有m（x1）0在上恒成立，即有成立． 由于，，y=F（x）在是减函数，所以 所以成立 …（12分） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 　 2．（2017?天心区校级一模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣xa（aR）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求a的取值范围； （2）记两个极值点x1，x2，且x1x2，已知λ0，若不等式x1?x2λe1+λ恒成立，求λ的取值范围． 【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，）上有两个不同交点； （2）原式等价于 ，令t=，t（0，1），则不等式lnt在t（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t（0，1）， 根据函数的单调性求出即可． 【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，）， 方程f′（x）=0在（0，）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，）有两个不同根； 转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，）上有两个不同交点， 如图示： ， 可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0a＜k． 令切点A（x0，lnx0）， 故k=y′x=x0=，又k=，